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1、第一章 基础数学实验基础实验一 数列极限与函数极限一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。二、实验材料1.1割圆术中国古代数学家刘徽在九章算术注方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角
2、度考察数列的收敛情况： m=2;n=15;k=10; Fori=2,i=n,i+, li_:=N2*SinPi/(3*2i),k; (圆内接正多边形边长) si_:=N3*2(i-1)*li*Sqrt1-(li)2/4,k; (圆内接正多边形面积) ri_:=Pi-si; di_:=si-si-1; Printi, ,ri, ,li, ,si, ,di t=Tablei,si,i,m,n (数组) ListPlott (散点图)1.2裴波那奇数列和黄金分割 由有著名的裴波那奇数列。如果令，由递推公式可得出 ，；。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列的收敛情况： n=14
3、,k=10; Fori=3,ix0观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。 令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Tablen,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于，类似地考察在点处的极限。三、实验准备 认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为
4、上机实验做好准备。四、实验思路提示3.1考察数列敛散性 改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，100，200，；扩展有效数字，观察随增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。3.2考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。基础实验二 定积分数值计
5、算一、实验目的学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。二、实验材料2.1定积分的数值计算计算定积分的近似值，可将积分区间等分而得矩形公式 或 也可用梯形公式近似计算 如果要准确些，可用辛普森公式 对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k;（计算精确值） s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小区间左端点的矩形公式） s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m
6、-1,k; （取小区间中点的矩形公式） s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; （取小区间右端点的矩形公式） s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; （梯形公式） s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式） r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;（误
7、差） t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100 利用以上程序计算、，并对几个公式比较。2.2可积条件如果函数在区间上连续，则在区间上可积。反之不然。2.3牛顿-莱布尼兹公式设函数在上连续，而且是的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式。函数在不连续、不存在原函数，但在上可积；函数在不连续，但在上可积、存在原函数。此外函数处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序 fx_:=Sinx; Integratef(x),x（求不定积分） Fx_:
8、=%（定义原函数） d=NIntegratef(x),x,a,b（求定积分） df=Fb-Fa （计算原函数的增量） r=d-df三、实验准备 认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。四、实验思路提示3.1定积分的定义 先对一个函数，例如在区间0,1，在程序中改变（例如、）并适当扩展有效数字（例如、），运行程序计算定积分的近似值，分析误差。再考虑其它函数。最后对几个公式比较。3.2牛顿-莱布尼兹公式 先对一个函数，例如在区间0,1, 运行程序计算。再考虑其它函数，例如指数函数、分段连续函数、。
9、分析可积条件及牛顿-莱布尼兹公式成立的条件。基础实验三 盈亏转折与投入产出一、实验目的理解微观经济学的基本理论与方法，利用线性代数的有关理论和方法解决经济管理中的盈亏转折及投入产出问题。二、实验材料2.1盈亏转折分析 已知某企业的产品数量与成本的若干数据如下：产品数量（百件）61020成本数量（千元）104160370 设每件产品的出厂价=20（千元百件），判断企业盈亏转折时的产品数量的变化范围及企业获取最大利润额时的产品数量。设成本函数，其中为待定系数；产值函数 ，于是利润函数 成本函数的导函数称为边际成本，利润函数的导函数称为边际利润。设与为方程的两个实根与称为盈亏转折点。当并且时，即使企
10、业获得利润的产品数量的范围为；而在这个范围之外企业不能获得利润。利润函数的唯一极大值点即的最大值点，就是使企业获得最大利润的产品数量。 Mathematica程序 data=6，104，10，160，20，370；（原始数据） InterpolatingPolynomialdata，x（求内插多项式，即成本函数） Lx_：=2 0*x-（0.5*x2 6*x+50）（利润函数） RootsLx=0，x（利润函数的零点） FindMaximumLx，x，0（求利润函数的极大值） MATLAB程序 x=6，10，20； %产品数量 y=104，160，370； %成本数量 c=polyfit（x，
11、y，2） %拟合二次多项式 c=0，20，0-c； rroots(c) %求盈亏转折点 r1=roots（polyder（c）%求微分多项式的根 L=polyval（c，rl）%求最大利润2.2投人产出分析 某地区有三个重要产业，一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费，铁路要支付 0.55元的煤费及0.10元的电费。在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为 25000元的定货，外界对地方铁路没有需求，问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？ 设为煤矿本周内的总产值，为电厂本周内的总产值，为铁路本周内的总产值，则 （3.1）记 矩阵称为直接消耗矩阵，称为产出向量，称为最后需求向量，则方程组（3.1）表示为 或
