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1、2O12年第4期 数学教育研究 33 用“基本图形”构图编题 刘智强 (浙江省绍兴市稽山中学312000) 图是以结构形态反映事物内在联系的一种表达方 式，图中存在的内在因果联系，用命题结构和语言形式 表示就是题目，因此，“构图”也是编题的重要“手段”和 “技术”而一些“基本图形”又反映了一些事物之间的 基本联系和规律，所以“基本图形”也成为“构图编题” 的重要角色，以“基本图形”为核心，进行布局构图，是 “构图编题”的一种途径和方法 所谓用“基本图形”构图编题，具体操作上是指先 用基本图形做“底”布局，用三角形、四边形、圆等基本 图形搭“桥”构图然后研究所构图形内在的因果逻辑 关系，把因果联
2、系设置为“条件”和“结论”，并将其“数 学化” 案例 以“过点作圆锥曲线两条切线”为“基本图 形”构图编题过程 1 用基本图形的内在联系作为“题干” 既根据编题的“立意”， 选定一个基本图形作问题 的基础、背景，反映一些基 本关系，用这些基本关系做 题目的前提这里选用基本 图形“过点P作抛物线c 的两切线，连接两切点所在 直线AB”作为图“底”，然后 对口相接抛物线C2，图形 看起来很美，把它们作为 “题干” | |必 ：， 图1 原创题目的题干：如图1，抛物线C ：z 一4y，C2： z =一4( 一4)，C 、C2相交于M、N，点P(a，6)在第4 象限，过P(a，6)作C，的两切线，切点
3、分别为A、B，直 线AB与曲线Cz相交于c、D 2用三角形、四边形、圆等基本图形的内在联 系作为“设问” 这个图形里，有两抛物线公共弦MN，有两切点弦 直线AB，有抛物线焦点F 、F2，及两条抛物线和切线 等，利用这些元素作材料，以三角形、四边形、圆等基本 图形进行“构图”，研究所构图形内部蕴藏着的因果联 系，将其因果联系设置为“条件”和“结论”如把三角形 的存在特殊性作为条件，可以探究切点弦直线的约束 条件反过来，若P(a，6)给出约束条件，可以探究特殊 性三角形的存在性给图形一定的约束，既改变条件和 结论，或者再加上些条件，便会产生许多有趣味的问题 和题目 这里由于P(a，6)是动点，切点
4、弦AB是动直线，所 构图形赋有动感，又两抛物线公共弦、焦点等是确定 的，所以图形有虚有实，动静结合，赋有美感诗意，所以 题目妙趣横生，具有较强的探究性 21 以三角形的内在联系来“设问” 以抛物线公共弦MN和切点动弦AB上动点Q构 建三角形，或者切点动弦AB和点P构建三角形，或者 以弦CD和点P构建三角形等等 题1：是否存在三角形MNQ为等腰三角形(除 MN为底的等腰三角形)，若存在，有几个?n，b满足什 么关系?若不存在，说明理由 题2：若P(a，6)在c 上运动，(1)问直线AB是 否经过定点?说明理由(2)设直线AB与y轴相交于 G，问是否存在a使直线PG垂直直线AB? 题3：(1)若P
5、APB=0，求点P的轨迹方程(2) 在(1)的条件下，直线AB与曲线c 相交于c、D，问n， b满足什么关系，三角形PCD为以CD为底的等腰三 角形 22 以四边形的内在联系来“设问” 以焦半径F A、F B为邻边作平行四边形 BF AT，或者以切点A、B和焦点F 、F 为四边形，或 者以切线PA、PB为邻边作平行四边形APBK等等 题4：(1)若点P在直线y一一2上运动，证明：直 线AB恒过定点(2)设c 的焦点F ，以F A、F B为 邻边作平行四边形BF AT，证明：T在抛物线上 题5：设c 的焦点F1，cz的焦点F。，(1)是否存在 P(a，6)?使BF AF 为平行四边形，说明理由(
6、2)在 (1)的条件下，求四边形BF，AF 面积的取值范围 题6：证明：点P在某抛物线上运动，在C2上存在 点K，使PA+PB一 23以圆的内在联系来“设问” 以AB为直径的画圆，焦点和圆的位置关系设问， 或者点A、B、P、F】四点共圆等 题7：若点P在直线Y一一2上运动，(1)求三角形 ABF 的面积取值范围(2)问是否存在口使F 在以 CD为直径的圆内部 题8：若切线PA、PB所成角为6O。，点A、B、P、F 四点共圆，求点P的轨迹 3 将图形内在因果联系“数学化”。相对“简约化” 和“美化”，使之适合学生，达到“立意”要求 在用基本图形构图编题后，还需要对题目进行演 绎验算，对“数据”和
7、“条件”修正对于题1，如果存在三 角形MNQ为等腰三角形(除MN为底的等腰三角 形)，在AB上取点s(z。，詈z。一b)，只需M点在线段 、 NS垂直平分线上，只需方程口z (4+2b+62n)-z。 +42(6十6)一0有解同理或者只需N点在线段MS 垂直平分线上，但题目数据复杂，变形要求过高，可以 根据情况作数据简化处理，如给P(a，6)在第4象限角 平分线上的条件，即nb就简单多了 (下转第35页) 2012年第4期 数学教育研究 35 BP和CP分别是两外角CBE和 BCD的平分线， 求 P的度数 总结：本题通过对条件进行从数字到字母、从内角 到外角、从简单到复杂的各种变化，让学生逐渐
8、理清三 角形内角和外角之间的内在联系，从而有利于促进有 关该类知识在学生头脑中的有序化与系统化 3设计一题多解 一题多解实质上是问题解法的变式对同一道题 目，如果从多个角度去思考，往往会有不同的解决方 案通过一题多解的教学有利于拓展学生的解题思路， 提高学生思维的发散性和灵活性常用的一题多解策 略有：运用同一定理或公式的不同变式来解题(如运用 平行四边形的不同判定定理来证明四边形是否为平行 四边形)；从正面和反面来思考问题(如常规法与反证 法)；顺向推理与逆向推理(如综合法与分析法)；等等 例3已知a，b，f，d都是实数，且a +b 1，C + d 一1，求证：lac+bdl1 分析：在解该题
9、时，我们可以引导学生从两个角度 去考虑：从条件一步步推导出结论和从结论寻求命题 成立的充要条件 综合法：因为a，b，C，d都是实数，所以1ac+bdI l aCl+lbdl(n +c )Z十(b +d0)z一(a +b。)z+ (c2+d )z一12+1zl，所以Iac+bdI1 分析法：要证lc+bdl1，只需证明(ac+bd)。 1，即只需要证明a。c。+2abcd+b d。1，由于日 +b。一 1，f2+d 一1，故左式等价于口 C +2abcd+b d (口 +b )(f +d )，把左式展开，合并化简后，得(adbc) 0，因为a，b，c，d都是实数，故上式成立，从而命题 得证 4设
10、计多题归一 多题归一是指将表面上不同但实质上相同的问题 归成一类，让学生找出它们的共同特征，运用同一数学 规律去解决该类问题的过程这些问题通常情况下只 有量上的差异而无质上的区别，或者只有形式上的不 同而无本质上的差异，教师要善于把该类题目组成一 块让学生去解决这有利于帮助学生透过现象看清本 质，有利于培养学生的抽象概况能力，有利于促进学生 所学知识的相互迁移 例4在求出方程 + 一0的解后，你能求出下 列方程的解吗? (1)(z+1) +( 2)。=0 (2)lz+1l+I 一2I一0 (3) 再可十,y-2=O (4)(z+1)。+J 一2I+ 一。 分析：上述几个问题涉及到不同领域的知识
11、：平 方、绝对值和算术平方根，但它们有个共同的性质：非 负性教师如果把这些问题组成一块让学生去分析和 解答，则有利于帮助学生透过现象抓住问题的共同本 质，从而让学生在解决相类似问题时能够做到举一反 三，触类旁通 综上所述，教师平时要多研究题目规律，尽量设计 出具有基础性、精炼性和典型性的好例题，从而努力去 达成“解一题，通一类”的教学效果 参考文献 1张海晨高效课堂导向案设计M济南：山 东文艺出版社，2010：1223 2孔企平数学新课程与数学学习M北京： 高等教育出版社，2007：2134 3盛群力学与教的新方式M杭州：浙江大学 出版社，2OO7：2427 4肖龙海学与教的新策略M杭州：浙江
12、大学 出版社，2006：7896 5李炳亭高效课堂22条M济南：山东文艺 出版社，2009：5676 责任编校钱骁勇 (上接第33页) 对于题2，如果P(a，6)在 上运动，则口。一一4(6 4)，所以直线AB恒过点(一詈，一4)要使PG垂直 、 6 AB，是m B一一1，即6一一1，所以n 一20 对于题3，设A(x1，Y )，B(z2，y2)，PAPB一0得 z。z 一4，解切线方程组得f下Xl-X2，旦： 1，点P的 、 ， 轨迹方程为 ：一1第(2)小题，等价于P在CD垂直 平分线上 对于题4，直线AB方程ax一2y+40，所以恒过 定点(O，2)平行四边形BF AT得F F B+F
13、A， 坐标化表达，利用韦达定理，设而不解，得 。一4( 一 3) 对于题5，切线弦AB方程为ax一2 一2b=0，由平 行四边形对角线互相平分性质，得6=一2，只需AB中 点横坐标等于零，而s ，AF，一l F F I l AB I一 。 6 IAB1 ， 0 、 对于题6，PA+PBPK，坐标化得K(n， 一昔b)， 、 6 要使K在C2上，5a 一12b十16 对于题7，直线AB方程nz一2j，+40，所以恒过 1 1 定点H(o，2)，SAmn一lFHlABI一lABl，要使 F 在以CD为直径的圆内部，只需要FcFDO，利 用韦达定理设而不解 对于题8，只需向量FzA，FzB成120。角，即 2F AFzB一一1FzAI l F2B1，如果式子变形要求过高，可 以改变设问 责任编校王蓓
