激光原理与技术6

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1、激光原理与技术6 激光原理与技术 西安电子科技大学技术物理学院刘继芳 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 ? 开腔模场分布的波动光学分析研究方法采用波动光学理论 光的衍射概念和计算方法 ? 采用腔型 开腔的典型代表：对称共焦腔 R1=L ? R2=L FL 一、对称共焦腔及其意义 实共焦腔：R1?0,R2?0对称共焦腔：R1?R2?L ? R1R2?L两腔镜焦点重合且在腔内22g1?0,g2?0,g1g2?0临界腔！ ? 无几何偏折损耗！(衍射损耗仍存在) 意义： ? 惟一可以给出自再现模解析解的腔型 其他腔型模的解可等效为共焦腔处理 FL 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光

2、学分析 二、FoxandLi开腔模概念(1961) 平面光波在平行平面腔中的来回反射，不计几何偏折损耗(大NF腔)时，等价于通过周期分布“孔拦”的传输。用数值迭代方法计算证实：自再现模存在。(3000次以后不再发生变化) 等价 LLL ? u1u2u3uquq+1 uq?1?uq?复常数 开腔中的自再现模场分布=衍射为零时的自洽场分布 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 三、自再现模的本征方程(对称共焦腔) 1.求自再现模本征方程的物理基础菲涅耳基尔霍夫方程 已知衍射屏xOy上场分布u(x,y)，根据惠更斯菲涅耳原理： e?ikr1?cos?u?(x?,y?)?u(x

3、,y)dxdyS?r2i 子波强度球面波倾斜因子 r：pp?两点间距， 1?cos?倾斜因子，2 xr x?p? ? ?：r与腔轴之间夹角 p? y ? y? z 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析2.再现模本征方程 若谐振腔满足： ? La，a?，有：cos?1ie?ikru?(x?,y?)?u(x,y)dxdyS?L 1?cos?12 ? 自洽条件：u?(x?,y?)?u(x,y) S 则有： ?u(x?,y?)?u(x,y)K(x,y;x?,y?)dxdy x ? 只有对称共焦腔：当xOy面在M1处，当x?O?y?面在M2处满足！x? FLzy? y 2.3对称

4、共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 分析如下： ? 这是关于u的积分方程，?求解：u(x,y)u?(x?,y?)横向场分布的本征方程。其解u为本征函数(横模)，?为本征值。本征方程积分核K(x,y;x?,y?)?e?ikr，为复对称核。腔结构对称，积分核对称！?L i ? 积分方程理论：(1)对称核：本征函数一定是正交归一函数系腔内任意场分布=?ti本征函数i(2)复核：本征函数、本征值一定是复值 ? 本征函数u正交归一化的函数系，加下标：u?um。um对应本征值?m 2.3对称共焦腔的自再现模 行波场 开腔模场分布的波动光学分析 ?本征方程可改写为：因此： ?mum(x?,y

5、?)?um(x,y)K(x,y;x?,y?)dxdym?0,1,2? S ? um和?m为复数，故有： um(x,y)?um(x,y)e ? m i?m(x,y) ?m?mei?意义？ m ? ?um?mei?umum ? 可见：?m对本征模在腔内渡越时产生两方面影响：(1)?m?引起振幅变化：损耗?(2)ei?m?产生一个附加相移 ? 自再现模平均单程损耗因子： ?D? ?um?umum 2 2 2 ?1?m 2 不同横模损耗不同！ 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 ? 自再现模腔内单程渡越相移： ?kmL?m?m?arg(u?)?arg(u)?arg(?m)?m

6、 几何相移 ? 附加相移 对称共焦腔的驻波条件(频率条件)： 2?m?m?kmL?m?q?k?m? c?m?m?q?2L? 纵模指数 ? c ? 横模指数 可见：对于横模指数为m的横模，可以有不同的振荡频率！记为TEMm(n)q模 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 四、对称共焦腔自再现模在镜面上场分布 1.自再现模本征方程解 i?ikrK(x,y;x?,y?)?e?L r关键 对称共焦腔最简单 任意腔可等效为对称共焦腔 已知M1面(球面)上场分布u，求M2面上场分布！相应间距：r?P?1P1?PP?1?2由?OO?P和?OO?P?：xOP?P1 1 (L?1)2?L

7、2?(x2?y2) ?2x?P?P1 O?zL (L?2)2?L2?(x?2?y?2) ?1? x?y2L 2 2 ?2? x?y?2L 2 2 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 可求得r：r?(x?x?)2?(y?y?)2?L21/2?1?2 ?(x?x?)(y?y?)?L?1?22LL? 2 21/2 ?1?2 ?(x?x?)2?(y?y?)2?L?1?1?222L?x2?y2x?2?y?2xx?yy?L?1?22L2LL xx?yy?L?L 代入本征方程有：?mum(x?,y?)? x?2?y?2x2?y2?2?1?2L2L i?ikLe?um(x,y)eS?

8、L ik xx?yy?L dxdy 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 ?mum(x?,y?)?本征方程也可改写为： x?其中：fx?,?L i?ikLi2(fx?fy)e?um(x,y)exydxdyS?Ly?fy?L 可见：um(x,y)?um(x?,y?)构成傅里叶变换对 ?mum(x?,y?)?cFT?um(x,y)?物场与频谱场分布自洽 若um(x?,y?)可分离变量? 求解大为简化 um(x?,y?)?umn(x?,y?)?um(x?)un(y?) ?m?mn?m?n 若S有限大本征方程可精确求解；若S很大本征方程需近似求解。 2.3对称共焦腔的自再现模行

9、波场 开腔模场分布的波动光学分析 实际上，S的大小并不由腔镜镜面尺寸决定，很多情况下是由腔内增益介质横截面尺寸决定(尺寸很小)腔镜横截面(介质横截面)形状不同，分离变量方法不同。 方形直角坐标系下分离变量 圆形极坐标系下分离变量 2.方镜对称共焦腔镜面上场分布厄米高斯函数 直角坐标系下分离变量umn(x,y)?um(x)un(y)y 2a2ax腔镜反射面在xOy面投影腔镜反射面形状 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 分离变量后的本征方程： ik(?)ik?m?num(x)un(y)?e?um(x)un(y)eLLdxdy?a2L2a2令：X?x2N/a,Y?y2N/

10、aN?ak/(2L)?菲涅耳数?L2Ni?ikLi(XX?YY?)?U(X)U(Y)?eU(X)U(Y)edXdY有：mnmnn?2N2m?ikLaxx?yy? 令：则： ?m?n?m?n/ie?ikL 1Um(X?)?2?m ? 2N ?2N Um(X)eiXX?dX Un(Y?)? 12?n ? 2N ?2N Un(Y)eiYY?dY 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 当N较大时，积分方程有如下解(用近似解代替精确解)： Um(X)?e ?X22 Hm(X) Un(Y)?e ? Y22 Hn(Y) 其中：Hm、Hn为厄米多项式： H0(?)?1H2(?)?4?2

11、?2H4(?)?16?4?48?2?12 H1(?)?2? H3(?)?8?3?12? dm?2Hm(?)?(?1)e?med? m?2 (?1)km!?(2?)m?2kk?0k!(m?2k)! ?m?2? m?m?整数部分?2?2? 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 22222Xxxax2由：?2?2N?2?2?x?222a?L?L2aw0s?L其中：w0s? 得：X? 2 xw0s Y?2第一文库网yw0s ?x2?y2 2w0s ?x?x?镜面上场分布：u(x,y)?CmnHm?2?Hn?2e?w0s?w0s? ?mn?e ?ikL?(m?n?1)2 m=0，1，2?n=0，1，2? 镜面上场分布为厄米高斯函数(分布)！相应光束称为厄米高斯光束 2.3对称共焦腔的自再现模行波场 开腔模场分布的波动光学分析 3.圆镜对称共焦腔镜面上场分布拉盖尔高斯函数 取极坐标系(?，?，z) 分离变量 umn(?,?)?um(?)un(?) ? 得镜面上场分布：umn(?,?)?Cmn?2其中 ：w0s? ?L ?eL2n?2?w0s?w0s? 2 ?m? ? ?2 2w0s e?im? ，Lm为缔合拉盖尔多项式n(?)m=0，1，2