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1、1,第四章 随机变量的数字特征,2,检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,第四章 随机变量的数字特征,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的。而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,3,由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有
2、重要意义。,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,4,4.1 数学期望,4.1.1 数学期望的定义,4.1.2 随机变量函数的数学期望,4.1.3 数学期望的性质,5,4.1数学期望,加 权 平 均,3:3:4 2:3:5 2:2:6,73.7 70.0 66.8,73.2 70.1 67.8,甲 乙 乙,引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负,6,为这 3 个数字的加权平均,称,数学期望的概念源于此,7,1、离散型随机变量的数学期望,概念的引入：,我们来看一个引例.,某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,我们先观察小张
3、100天的生产情况,8,若统计100天,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,（假定小张每天至多出现三件废品 ）,9,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,10,这
4、是 以频率为权的加权平均,当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,11,设离散型随机变量X 的分布律为,若级数,收敛，,定义4-1 离散型随机变量的数学期望,记为,为随机变量X 的数学期望或均值,则称级数,若级数,发散，,12,2、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,13,由于xi与xi+1很
5、接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,14,设连续型随机变量X 的概率密度为,若积分,收敛,则称积分 为X 的数学期望,若积分 发散，则数学期望不存在。,数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是 一种加权平均，它是一个数不再是 r.v.,或均值，记为,注:,定义4-2 连续型随机变量的数学期望,15,离散型随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和，也是以相应概率为权重的加权平均。,16,17,从命中环数看，射手甲的射击水平比乙高。,18,19,个人的血呈阳性反应的概率为q=1-p 设以k个人为
6、一组时，组内每人化验的次数为X 则X是一个随机变量，其分布律为:,解:,20,则N个人平均需化验的次数小于 N,当p固定，选取k使得,21,例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数， 求X的数学期望。,22,23,解:,（2）二项分布,24,（3）泊松分布,解:,25,（4）几何分布 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).,解,26,解:,（1）均匀分布,27,（2）指数分布,28,（3）正态分布 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,解,29,例,解:,注意 不是所有的 r.v.都有数学期望,30,常见 r.v. 的数学期望（P93）,31,区间(a,b)上的 均匀分
7、布,Exp(),N(, 2),32,4.1.2 随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,33,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,34,(1) 当X为离散型时,它的分布率为
8、P(X= xk)=pk ;,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数),35,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,36,例1 设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量Y=X2的数学期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,4.1.2 随机变量函数的数学期望,37,例2,38,例3,解:,设每年生产y 吨的利润为Y,2000 y 4000,39,故 y = 3500 时，E（Y） 最大， E（Y） = 8250万元,
9、40,4.1.3 数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,（诸Xi相互独立时）,请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,41,4.1.1 数学期望的性质,42,例,设X 服从参数为p(0p1)的Bernoulli分布,下面这个例子说明性质(4)在没有独立假设的条件下一般不成立,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,43,数学期望性质的应用,例1 求二项分布的数学期望,若 XB(n
10、,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,现在我们来求X的数学期望 .,44,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是 n p.,XB(n,p),若设,则 X= X1+X2+Xn,= np,i=1,2，n,因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.,45,例2 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,k=1,2, ,n,则,故,引入,46,例3 一民航送客车载有20位旅
11、客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立),47,按题意,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随,机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求,数学期望的,此方法具有一定的意义.,48,例4,49,解:,50,51,例5,某保险公司规定,如果在1年内顾客的投保,事件A 发生,该公司就赔偿顾客a(元),若1年内事件A发生的概率为p,为使公司收益的期望值等于a 的10%,问该公司应该要求顾客交多少保险费?,解:,设顾客应交的保险费为x(元),公司收益为Y(元)
12、,这里x 是普通变量,Y 的取值与事件A 是否发生有关,由题意有,52,所以,由题意,所以,且已知,53,课堂练习,54,1 解 设试开次数为X,于是,E(X),2 解,Y是随机变量X的函数,P(X=k)=1/n, k=1, 2, , n,55,小结,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,56,课堂练习,57,4.2 方差,4.2.1 方差的定义,4.2.2 方差的性质,58,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,59,引例
13、 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏,计算得:平均寿命分别为:A:1200 B:1200,观察得:A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小,所以,B产品质量较好,60,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,61,又如,甲、乙两门炮同时向
14、一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,62,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,63,4.2.1 方差的定义,记为D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,方差是非负的常数,64,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.,
15、方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。,65,(X - EX)2 随机变量X 的取值偏离平均值的情况 , 是X的函数, 也是随机变量,E(X - EX)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数,66,X为离散型， 分布率 PX=xk=pk,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 .,2、方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),67,计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX
16、-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,68,例1 设随机变量X的概率密度为,1)求D（X）, 2)求,69,70,例2,设随机变量X具有(01）分布，其分布率为,求D(X) .,解,由公式,因此,0-1分布,71,例3 二项分布B(n, p)：,求D(X) .,72,73,74,例4,解,X的分布率为,上节已算得,75,因此,泊松分布,76,例5,解,因此,均匀分布,77,例6,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解,由此可知,指数分布,78,设 X N ( , 2), 求方差 DX,例7,解:,79,4.2.2 方差的性质,1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ;,2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ;,4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里C=E(X),80,例1 设XB(n,p)，求E(X)和D(X).,则 是n次试验中“
