《795编号高等代数(北大版)第6章习题参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《795编号高等代数(北大版)第6章习题参考答案（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章第六章 线性空间线性空间 1.设证明：。,NM ,MNM MNN 证证 任 取由得所 以即 证。 又 因,M,NM ,N,NM MNM 故。再证第二式，任取或但因此无论,MNMMNMM,N,NM 哪 一种情形，都有此即。但所以。,N,NMNMNN 2.证明，。)()()(LMNMLNM)()()(LMNMLNM 证证 则在后一情形， 于是),(LNMx. LNxMx且. LMxNMx或 所以，由此得。反之，若)()(LMNMx)()()(LMNMLNM ，则 在前一情形，因此)()(LMNMx. LMxNMx或,NxMx 故 得在 后 一 情 形 ， 因 而， 得. LNx),(LNMx
2、,LxMxxNL 故),(LNMx),()()(LNMLMNM 于是。)()()(LMNMLNM 若。xMNLMNL（），则x，x 在前一情形 X， 。xMNXML且，xMN因而（）（M L） ,NLxMNXML MNM MNMN 在后一情形，x, x因而且，即X （M N ）（M L）所以 （）（M L）（N L） 故（L）=（）（M L） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于 n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设 A 是一个 nn 实数矩阵，A 的实系数多项式 f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法；
3、3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 21212 11 2 11 1 2 babaabba a k k ba 1 1 11 （a， ）（，） （） k。（a， ）=（ka，kb + 6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ；0k a 7） 集合与加法同 6） ，数量乘法定义为： ；k aa 8） 全体正实数 r，加法与数量乘法定义为： ，；abab k k aa 解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如 。
4、523 nn xx （）（） 2）令 V=f（A）|f（x）为实数多项式，A 是 nn 实矩阵 因为 f（x）+g（x）=h（x） ，kf（x）=d（x） 所以 f（A）+g（A）=h（A） ，kf（A）=d（A） 由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条，故 v 构成线性空间。 3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18 条性质，只需证明对称矩阵（上三 角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当 A，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有 ，A+B 仍是反对称矩阵。（A+B） =A+B=-A-B=-（A+B） ，所以 kA 是反对称矩
5、阵。KAKAKAKA （）（） （） 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5） 不难验证， 对于加法， 交换律， 结合律满足， （0， 0） 是零元， 任意 （a， b） 的负元是 （-a， -b） 。对于数乘： 2 a 2 22 2222 2 1(1 1) 111)( , ), 2 (1)(1)(1) .( .( , ).( ,)(, 2() ) 222 (1)(1)(1)(1) (, () )(,() ) 2222 (1) (,)().( , ), 2 ( ababaa b l ll lk k k l a bk la lbak
6、la k lbala l lk kkl klk k kla k lbalaklaala kl kl klaaklbkla b 。（ ， ）（。 ， 。 2 22 222 2 ()(1) ).( , )() ,() 2 (1)(1) .( , ).( , )(,)( , 22 (1)(1) (,) 22 (1)(1) () ,() . 2 kl kl kla bkl aakl b k kl l k a bl a bka kbala lba k kk k kala kbaakla kkl kl aakl b 即。),(),(),()(balbakbalk ),(),(),( 2121212211
7、aabbaakbabak ，)( 2 ) 1( (),( 2 21212121 aa kk aabbkaak ),()( 221, 1 bakbak ) 2 ) 1( ,() 2 ) 1( ,( 2 222 2 111 a kk kbkaa kk kbka ) 2 ) 1( 2 ) 1( ,( 21 22 22 2 1121 aaka kk kba kk kbkaka ) 2 ) 1( 2 ) 1( )(),( 2121 22 2 2 1212121 aakaaka kk a kk aabbkaak ，)( 2 ) 1( )(),( 22 2 2 1212121 aa kk aabbkaak
8、即，所以，所给集合构成线性空间。),(),( 2211 babak ),()( 221, 1 bakbak 6）否，因为。.01 7） 否， 因为，)()()(,2,)(lklklklk所以 所给集合不满足线性空间的定义。 8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 1 ); )()()()(); )111; 1111 ):1,1; )1; )()()()(); )()()(); )() llklkkl k lkl i ababbaba ii abcabcabcabcabc iiiaaa iv aaaa aaaa vaaa vi kl akaaaakla vii klaaaakal
9、a viii kab 是零元： 的负元是且 ()()()(). kkk kababa bk ak b 所以，所给集合构成线性空间。 R 4 在线性空间中，证明：1） 2）。00 kkkk)( 证证 1）。00)() 1()()(0kkkkkkkk 2）因为。()(),()kkkkkkk所以 5 证明：在实函数空间中，1，式线性相关的。tt2cos,cos2 证证 因为，所以 1，式线性相关的。1cos22cos 2 tttt2cos,cos2 6 如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互)(),(),( 321 xfxfxfxP 素，那么他们线性无关。 证证 若有不全为零的数使，
10、 321 ,kkk0)()()( 332211 xfkxfkxfk 不妨设则，这说明的公因式也是, 0 1 k)()()( 3 1 3 2 1 2 1 xf k k xf k k xf)(),( 32 xfxf)( 1 xf 的 因 式 ， 即有 非 常 数 的 公 因 式 ， 这 与 三 者 互 素 矛 盾 ， 所 以)(),(),( 321 xfxfxf 线性无关。)(),(),( 321 xfxfxf 7 在中，求向量在基下的坐标。设 4 P 4321 , 1）；) 1 , 1 , 2 , 1 (),1 , 1, 1, 1 (),11 , 1, 1 (),1, 1, 1 , 1 (),1
11、 , 1 , 1 , 1 ( 4321 2）。) 1 , 0 , 0 , 0(),1, 1, 1 , 0(),0 , 0 , 1 , 1 (),1 , 3 , 1 , 2(),1 , 0 , 1 , 1 ( 4321 解解 1）设有线性关系，则， 4321 dcba 1 1 2 1 dcba dcba dcba dcba 可得在基下的坐标为。 4321 , 4 1 , 4 1 , 4 1 , 4 5 dcba 2）设有线性关系，则， 4321 dcba 1 03 0 02 dba db dcba cba 可得在基下的坐标为。 4321 ,0, 1, 0, 1dcba 8求下列线性空间的维数于一
12、组基 ： 1）数域 P 上的空间 P； 2）P中全体对称（反对称， nnnn 上三角）矩阵作成的数域 P 上的空间；3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 A 的全体实 系数多项式组成的空间,其中 A=。, 00 00 001 2 2 31i 解 1)的基是且。 nn P ),.,2 , 1,(njiE ij 2 dim() n n Pn 2) i)令， 即其 余 元 素 均 为 零 ,则 . .1. . .1. . ij F, 1 jiij aa 是对称矩阵所成线性空间 的一组基,所以是 nnnn FFFFF,.,.,., 222,111n M n M 维的。 2 ) 1( nn
13、ii)令， 即其 余 元 素 均 为 零 ,则 . .1. . .1. . ij G),( , 1jiaa jiij 是反对称矩阵所成线性空间的一组基, 所以它是 nnnn GGGGG , 1223,112 ,.,.,., n S 维的。 2 ) 1( nn iii) 是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是 nnnn EEEEE,.,.,., 222,111 2 ) 1( nn 维的。 3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量,例如取 2， 且对于任一正实数,可经 2 线性表a 出，即.,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。2)(log2aa 4)因为,所以， 2 31i 1
14、 3 23, 13, 3, 1 2 qn qn qn n 于是， 而。EAA 1 1 1 , 1 322 23, 13, 3, 2 qnA qnA qnE An 9.在中,求由基，到基的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐 4 P , 1 , 432 4321 , 标。设 ， 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1 1 4 3 2 1 3 , 1 , 6 , 6 1 , 2 , 3 , 5 0 , 1 , 3 , 0 1 , 1, 1 , 2 4 3 2 1 在下的坐标； 4321 ,xxxx 4321 , ， 1 , 0 ,
15、 1, 1 1 , 1 , 2 , 1 1 , 1 , 1, 1 10, 2 , 1 2 4 3 2 1 2 , 1 , 3 , 1 2 , 1 , 1 , 2 2 , 2 , 1 , 0 1 , 0, 1 , 2 4 3 2 1 在下的坐标；0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 432 ， 1 , 1, 1, 1 1, 1 , 1, 1 1, 1, 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1 3 4 3 2 1 1, 1, 1 , 0 0 , 0 , 1 , 1 1 , 3 , 1 , 2 1 , 0 , 1 , 1 4 3 2 1 在下的坐标；1, 0 , 0 , 1 4321 , 解 （）=（）=（）A1 4321 ,
