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1、第四章 数值积分与数值微分,数值分析,2020/8/29,Numerical Analysis,2,本章内容,数值积分,基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 多重积分,数值微分（略）,2020/8/29,Numerical Analysis,3,本讲内容,数值积分的必要性 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性,数值积分基本概念,公式介绍 代数精度 余项表达式,Newton-Cotes 公式,2020/8/29,Numerical Analysis,4,数值积分,微积分基本公式：,2020/8/29,Numerical A
2、nalysis,5,几个简单公式,矩形公式,梯形公式,抛物线公式,基本思想：,2020/8/29,Numerical Analysis,6,一般形式,数值积分公式的一般形式,将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现,一般地，用 f(x) 在 a, b 上的一些离散点 a x0 x1 xn b 上的函数值的加权平均作为 f () 的近似值，可得,2020/8/29,Numerical Analysis,7,代数精度,定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式,精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精
3、度,2020/8/29,Numerical Analysis,8,举例,例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,所以求积公式为：,具有至少 n 阶代数精度,2020/8/29,Numerical Analysis,9,举例,例：试确定系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。,易验证该公式对 f (x)x3 也精确成立，但对 f (x)x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。,2020/8/29,Numerical Analysis,10,举例,例：(P100) 试确定下面求积公式中的系数，使其具有尽可能高的代数精度
4、。,将 f (x)x3 代入，等号成立，故公式具有 2 次代数精度。,2020/8/29,Numerical Analysis,11,代数精度,容易验证：,左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度,中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度,特别地，任意具有 m ( 0 ) 次代数精度的求积公式一定满足：,2020/8/29,Numerical Analysis,12,插值型求积公式,设求积节点为：a x0 x1 xn b 若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值：,其中,插值型求积公式,2020/8/29,Numerical Analysis,13,插值型求积公式,当 f
5、 (x) 1, x, x2, , xn 时，有,即公式精确成立,2020/8/29,Numerical Analysis,14,求积公式余项,性质：若求积公式的代数精度为 m，则余项为,其中 K 为待定系数，但与 f (x) 无关,2020/8/29,Numerical Analysis,15,举例,例：试确定梯形公式的余项表达式,所以梯形公式的余项为,2020/8/29,Numerical Analysis,16,举例,例：试确定下面的求积公式的余项表达式,2020/8/29,Numerical Analysis,17,收敛性,定义：如果求积公式 满足,则称该求积公式是 收敛的。,设求积节点
6、为：a x0 x1 xn b ，令 xi = xi xi-1,2020/8/29,Numerical Analysis,18,稳定性,定义：对 0，若存在 0，使得当 ( i = 0, 1, , n) 时，有,则称该求积公式是 稳定的。,2020/8/29,Numerical Analysis,19,Newton-Cotes 公式,基于等分点的插值型求积公式,积分区间：a, b 求积节点： xi = a + i h,求积公式：,Newton-Cotes 求积公式,2020/8/29,Numerical Analysis,20,Newton-Cotes 公式,n = 1:,代数精度 = 1,梯形
7、公式,代数精度 = 3,2020/8/29,Numerical Analysis,21,Cotes 系数表,Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 a, b 无关 Cotes 系数可通过查表获得,2020/8/29,Numerical Analysis,22,N-C 公式,Cotes 系数具有以下特点：,(1),(2),(3) 当 n 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。,当 n 7 时，Newton-Cotes 公式是稳定的,一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式,2020/8/29,Numerical Analysis,2
8、3,N-C 公式代数精度,定理：当 n 为偶数时，Newton-Cotes 公式至少有 n+1 阶代数精度,定理：n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 阶代数精度,2020/8/29,Numerical Analysis,24,N-C 公式余项,梯形公式 (n=1) 的余项,Simpson公式 (n=2) 的余项,Cotes 公式 (n=4) 的余项,2020/8/29,Numerical Analysis,25,本讲内容,复合求积公式,复合梯形公式 复合 Simpson 公式,梯形法的递推化计算 Romberg 算法基本思想: 外推技巧 Romberg 算法: 计算过程,Romb
9、erg (龙贝格) 算法,2020/8/29,Numerical Analysis,26,复合求积公式,提高积分计算精度的常用两种方法,用 复合公式 用 非等距节点,2020/8/29,Numerical Analysis,27,复合梯形公式,将 a, b 分成 n 等分 xi , xi+1 ，其中,(i = 0, 1, , n),复合梯形公式,余项,2020/8/29,Numerical Analysis,28,复合 Simpson 公式,复合 Simpson 公式,余项,2020/8/29,Numerical Analysis,29,-f(b),算法实现,2020/8/29,Numeric
10、al Analysis,30,算法实现,2020/8/29,Numerical Analysis,31,举例,例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算定积分 ，并估计误差。,解：,2020/8/29,Numerical Analysis,32,举例,误差估计,例3（P108）,2020/8/29,Numerical Analysis,33,举例,例4(P104)：计算定积分 用复合梯形公式和复合simpson公式时，n 分别取多大时才能使得误差不超过 0.5 10-5,要使误差不超过 0.5 10-5 ，需要,取 n=213,213 等分,复合梯形公式,2020
11、/8/29,Numerical Analysis,34,举例,复合simpson公式,要使误差不超过 0.5 10-5 ，需要,故取 n=4,8 等分,2020/8/29,Numerical Analysis,35,Romberg 算法,太 大,利用复合梯形公式、复合simpson公式、复合Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长 h,？,解决办法：采用 变步长算法,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k ，反复使用复合求积公式，直到所得到的计算结果满足指定的精度为止。,2020/8/29,Numerical Analysis,36,梯形法递推公式,步长折半：xi , xi+1/2
12、 ， xi +1/2 , xi+1,将 a, b 分成 n 等分 xi , xi+1 ，,2020/8/29,Numerical Analysis,37,梯形法递推公式,2020/8/29,Numerical Analysis,38,梯形法递推公式,记,2020/8/29,Numerical Analysis,39,梯形递推算法流程图,算法实现,T2 T1/2+h/2*s h h/2 T T1 T1 T2,|T2-T|,2020/8/29,Numerical Analysis,40,举例,解：,例5(P110)：用梯形法的递推公式计算定积分 , 要求计算精度满足,2020/8/29,Numer
13、ical Analysis,41,梯形法的加速,梯形法递推公式算法简单，编程方便,梯形法的加速龙贝格 (Romberg) 算法,但收敛速度较 慢,2020/8/29,Numerical Analysis,42,梯形法的加速,Richardson 外推算法,2020/8/29,Numerical Analysis,43,龙贝格算法流程图,输出R2,h b-a T1 h/2*(f(a)+f(b) k 1,k=1,Y,S2 (4T2-T1)/3,调用梯形递推算法得T2,N,N,|R2-R1|,输入a, b,C2 (16S2-S1)/15,k k+1 h h/2 T1 T2 S1 S2,R2 (64C
14、2-C1)/63,k=2,k=3,C1 C2,R1 R2,Y,Y,N,N,Y,2020/8/29,Numerical Analysis,44,举例,例：计算定积分,2020/8/29,Numerical Analysis,45,Romberg 算法,记:,: k 次等分后梯形公式计算所得的近似值,: m 次加速后所得的近似值,Romberg 算法是收敛的,2020/8/29,Numerical Analysis,46,举例,例：用 Romberg 算法计算定积分 , 要求计算精度满足,解：逐步计算可得,2020/8/29,Numerical Analysis,47,本讲内容,一般理论: 公式,
15、 余项, 收敛性, 稳定性 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式 无限区间的 Gauss 求积公式,Gauss 求积公式,2020/8/29,Numerical Analysis,48,Gauss 型求积公式,考虑求积公式,含 2n+2 个参数 (节点与系数), 为了使该公式具有尽可能高的代数精度, 可将 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入公式, 使其精确成立, 则可构造出代数精度至少为 2n+1 的求积公式!,2020/8/29,Numerical Analysis,49,举例,例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的
16、求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。,易验证该公式对 f (x)x4 不精确成立， 所以此求积公式具有 3 次代数精度。,非线性方程组 求解较困难,2020/8/29,Numerical Analysis,50,Gauss 型求积公式,一般情形: 考虑机械带权求积公式,将 代入验证即可,2020/8/29,Numerical Analysis,51,Gauss 点,如何计算Gauss点 xi 和 高斯系数 Ai,法一: 解非线性方程组,2020/8/29,Numerical Analysis,52,Gauss 点,定理：节点 xi (i = 0, 1, , n) 是 Gauss点的充要条件是：多项式 与任意次数不超过 n 的多项式 p(x) 关于权函数 (x) 正交，即,且高斯系数 Ai 为,其中 li(x) 为以 xi 为
