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1、1 1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似： 在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限： 则面积取极限 2 其中，即小区间长度最大者趋于零。 2. 变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且， 求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似： 在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限： 则路程取极限 定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间 3 上任取
2、一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的 点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ， （*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（ * ）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积， （1）在区间上连续，则在可积。 （2）在区 间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知， 定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 4 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积； 在上
3、时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 5 例 1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积） 设可积 性质 1 性质 2 性质 3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 6 性质 4 性质 5 如果在区间上，则 推论 性质 6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值 及最小值，则 性质 7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立 例 2 比较下面两个积分的大小 与 7 解 设， 在（ 0， 1）内，单调增 当时，有，即 由性质 5， 例 3 估计积分的值 解
4、只需求出在区间上的最大值、最小值即可。设， ，令，得， 所以，在区间上 由性质 6， 设在区间上连续，则定积分一定存在， 当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数， 记作即 8 定理 如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在 上具有导数，且导数是，即 说明： 1.由原函数的定义知, 是连续函数的一个原函数，因此，此公式 揭示了定积分与原函数之间的联系。 2.当积分上限的函数是复合函数时，有 更一般的有 例 1 （1）， 则： = 9 （2），则： （4），则： （5）设，求 : 此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式 由求导法则 = = + （6）=0
5、（因定积分的结果为一常数，故导数为零） （7）设是方程所确定的函数，求 解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有 则= 10 例 2 设，求。 例 3 设为连续函数，（1）若，则_ , _ 。（2） 例 4 求 解 这是型不定式，用罗必塔法则 定理 （牛顿莱公式）如果函数是连续函数在区间 上的一个原函数，则 此公式表明： 一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上 的增量，此公式也称为微积分基本公式。 例 5 11 解 原式 例 6 解 原式 例 7求 解 利用定积分的可加性分段积分， = + =2 例 8 解 被积函数是分段函数，分段点在积分区间内， = + =1/4 例 9 解 原式 12 注意：是分段函数
