抛物线线及抛物线的性质[借鉴]

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1、佛山学习前线教育培训中心 抛物线的定义及性质 一、抛物线的定义及标准方程 抛物线的定义：平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F叫做抛物 线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。 标准方程 2 2ypx（0p） 2 2ypx（0p） 2 2xpy（0p） 2 2xpy（0p） 图形 焦点 ,0 2 p ,0 2 p 0, 2 p 0, 2 p 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 对称轴x轴 y轴 顶点 0,0 离心率1e 例 1、 指出抛物线的焦点坐标、准线方程 （1）)0( 2 aayx（2） 2 21yx 【练习 1】 1、求以原点为顶

2、点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2 ，-4 ）的抛物线方程。 x y O F x y O F x y O F x y O F 2、若动圆与圆 22 (2)1xy外切，又与直线10 x相切，求动圆圆心的轨迹方程。 3、设抛物线过定点0 ,2A，且以直线2x为准线。求抛物线顶点的轨迹C 的方程； 二、抛物线的性质 例 2、若抛物线xy 2 上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（） A 12 (,) 44 B 12 (,) 84 C 12 (,) 44 D 12 (,) 84 【练习 2】 1、抛物线xy10 2 的焦点到准线的距离是（） A 2 5 B5 C 2 15 D10

3、2、若抛物线 2 8yx上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（） 。 A(7,14) B(14,14) C(7,2 14) D( 7, 2 14) 3、抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( ) A、 xy16 2 B、xy12 2 C、xy16 2 D、xy12 2 4、设抛物线 2 8yx的焦点为 F， 准线为l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足如果直线 AF的斜率为-3, 那么 |PF|=( ) (A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D) 16 三、抛物线中的最值问题 例 3、若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy2 2

4、 的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取 得最小M的坐标为（） A0, 0 B 1 , 2 1 C2, 1 D 2 ,2 【练习 3】 1、设AB为过抛物线)0(2 2 ppxy的焦点的弦，则AB的最小值为（） A 2 p B p Cp2 D 无法确定 2、若点A的坐标为(2,3)，F是抛物线xy2 2 的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取 得最小距离为 3、在抛物线 2 4yx上求一点p，使这点到直线45yx的距离最短，则点P坐标为。 4、已知(0,4),(3,2)AB，抛物线 2 8yx上的点到直线AB的最段距离 5、已知抛物线 2 2(0)yPx P，点 A(2,3) ，F 为

5、焦点，若抛物线上的动点M到 A、F 的距离之和的最小 值为10，求抛物线方程. 四、抛物线的应用 例 4、抛物线 2 2xy上两点),( 11 yxA、),( 22 yxB关于直线mxy对称，且 2 1 21 xx， 则m等于（） A 2 3 B2 C 2 5 D3 【练习 4】 1、设抛物线 2 8yx上一点 P到 y 轴的距离是4，则点 P到该抛物线焦点的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2、设抛物线 2 2yx的焦点为F，以 9 (,0) 2 P为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于 ,MN，则|MFNF的值为（） ()A8 ()B18 ()C22()D4

6、 3、已知顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线21yx 截得的弦长为15，求抛物线的方程。 四、直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识整理： 1. 考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。 多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤： 设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。 第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a） ； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：联立方程组 0)y,x(f bkxy ，消去 y

7、 得关于 x 的一元二次方程； 第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 0 二次系数不为零 ， 21 21 xx xx 第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。 3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦AB 的中点为M(xo,yo) ，先设两个交点为A(x1,y1) ， B(x2,y2); 分 别 代 入 圆锥曲 线 的 方 程 ， 得0)y,x(f ,0)y,x(f 2211 ， 两 式相 减 、 分 解 因 式 ，再 将 o21o21 2yyy,2xxx代入其中，即可求出直线的斜率。 4. 弦长公式 :x4x)xx)(k1(|xx|k1|A

8、B| 21 2 21 2 21 2 ( k为弦 AB所在直线的斜率) 例题分析 1、(2008 海南、宁夏文) 双曲线 22 1 102 xy 的焦距为（） A. 32B. 42C. 33D. 43 2. （2004 全国卷文、理）椭圆1 4 2 2 y x 的两个焦点为F1、 F2，过 F1作垂直于x轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P，则| 2 PF= （） A 2 3 B3C 2 7 D4 3 （2006 辽宁文） 方程 2 2520 xx的两个根可分别作为（） 一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率 一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率 4 （2006 四川文、理）直线 3 与抛物线

9、xy4 2 交于 A、B两点，过A、B两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、 Q ，则梯形APQB 的面积为（） （ A）48. （B ） 56 （C）64 （ D ）72. 5. (2007 福建理 ) 以双曲线1 169 22 yx 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( ) A . B. C . D. 6 （2004 全国卷理）已知椭圆的中心在原点，离心率 2 1 e，且它的一个焦点与抛物线 xy4 2 的焦点重合，则此椭圆方程为（） A1 34 22 yx B 1 68 22 yx C 1 2 2 2 y x D 1 4 2 2 y x 7 （2005 湖北文、理） 双曲

10、线)0(1 22 mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线xy4 2 的焦点重 合，则mn的值为（） A 16 3 B 8 3 C 3 16 D 3 8 8. (2008重庆文 ) 若双曲线 22 2 16 1 3 xy p 的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上 , 则 p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C) 4 (D)42 9 （2002 北京文） 已知椭圆1 53 2 2 2 2 n y m x 和双曲线1 32 2 2 2 2 n y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（） Ayx 2 15 Bxy 2 15 C yx 4 3 Dxy 4 3 10

11、（2003 春招北京文、 理） 在同一坐标系中，方程 )0(01 2 2 2 2 2 babyax b y a x 与的曲线大致是( ) 11.（2005 上海文） 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的 标准方程是 _ 12(2008 江西文 )已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线方程为 3 3 yx， 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 13. （ 2007 上海文） 以双曲线1 54 22 yx 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 14.( 2008 天津理 ) 已知圆 C的圆心与抛物线xy4 2 的焦

12、点关于直线xy对称 . 直线0234yx与 圆 C相交于BA,两点，且6AB, 则圆 C的方程为. 15（2010，惠州第二次调研）已知圆C方程为： 22 4xy. （1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若|2 3AB，求直线l的方程； （2）过圆C上一动点M作平行于x 轴的直线 m ，设 m 与y轴的交点为N，若向量OQOMON， 求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. x y x y x y x y O OO O A BCD 16（2010，惠州第三次调研）已知点P是O： 22 9xy上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D, 动 点Q满足 2 3 DQDP。 （1）求动点Q

13、的轨迹方程； （2）已知点(1,1)E，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使 1 () 2 OEOMON (O 是坐标原点 ) ，若存在，求出直线 MN 的方程，若不存在，请说明理由。 17 （ 2006 北 京 文 ） 椭 圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的 两 个 焦 点 为F1,F 2, 点 P 在 椭 圆C 上 ， 且 11212 414 ,|,|. 33 PFF FPFPF （）求椭圆C的方程； ( ) 若直线l过圆 x 2+y2+4x-2y=0 的圆心 M, 交椭圆 C于 ,A B两点 , 且 A、B关于点 M对称 , 求直线l的方 程. 18（201

14、0，珠海市一模 ）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上。过点(02)M，作直 线l与抛物线相交于AB、两点，且满足 ( 412)OAOB， ( ) 求直线l和抛物线的方程； ( ) 当抛物线上一动点P从点A向点B运动时， 求ABP面积的最大值 19(2010, 广东六校第四次联考）已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点 12 ( 1,0),(1,0)FF的距 离 12 ,PFPF的等差中项为2. （1）求曲线C的方程； （2）直线l过圆 22 40 xyy的圆心Q与曲线C交于,M N两点，且0ON OM(O为坐标原点 ) ， 求直线l的方程 . 20（2010，珠海二模文）已知两圆 22 1 5 : (1) 4 Oxy和 22 2 45 :(1) 4 Oxy，动圆P 与 O 1外切， 且与 O2内切 （1）求动圆圆心P的轨迹方程； （2）过点 M(5，0) 作直线l与点 P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直 平分线经过圆心O2若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由