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1、偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称： 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 2 2 ( ),0 uu af xtT tx (1.1.1) 其中a是常数，( )f x是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法， 可将(1.1.1) 的定解分为两类： 第一， 初值问题（Cauchy 问题） ： 求足够光滑的函数txu,， 满足方程 (1.1.1) 和初始条件： xxu0, x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题） ：求足够光滑的函数txu
2、,，满足方程 (1.1.1)和初始条件： xxu0, 0 xl (1.1.3) 及边值条件 0,0tlutu，Tt0 (1.1.4) 假定xf和x在相应的区域光滑， 并且于0,0，0, l两点满足相容条件 , 则上述问题有唯一的充分光滑的解。 抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 2 2 ( ) (0. )( , )0 ( ,0)( ) uu af x tx utu L t u xx (1.2.1) 其中， 0 xl ，Tt0,a(常数) 是扩散系数。 取 N l h为空间步长， M T 为时间步长，其中N ， M 是自然数，用两族 平 行直 线jhxx j, Nj, 1,0和kttk
3、, Mk, 1,0将矩形 域 GTtlx0;0分割成矩形网格。其中, jk xt表示网格节点； h G表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G表示位于闭矩形G中的网 格节点的集合； h表示h G- h G网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点, jk xt处的待求近似解，Nj0，Mk0。 现在对方程进行差分近似： ( 一)向前差分格式 k j k j uu 1 11 2 2 () kkk jjj jjj uuu afff x h (1.2.2) jjj xu 0 ， k u0= k N u=0 (1.2.3) 计算后得： 1 11 (1 2 ) kkkk jjjjj
4、 urur uruf (1.2.4) 其中， 2 a r h ，1, 1, 0Nj，1, 1,0Mk。 显然，这是一个四点显示格式， 每一层各个节点上的值是通过一个方程组求 解到的。方程组如下： 1000 12101 1000 23212 1000 34323 1000 1121 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) NNNNN urur uruf urur uruf urur uruf urur uruf (1.2.5) 若记 T k N kkk uuu 121 ,u， T N xxx 121 ,， T N xfxfxf 121 ,f 则显格式 (1.2.4)可写成向量形式
5、 1 0 ,0,1,1 kk kMuAuf u (1.2.6) 其中 rr rrr rrr rr 2100 21 00 21 0021 A 而对于向前差分格式，当网比 1 2 r时稳定，当 1 2 r时不稳定。这就意味着 给定空间步长 h以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。 抛物型热传导方程数值算例 对 于 (1.2.1)所 描 述 的 扩 散 方 程 ， 取1a已 知 方 程 的 精 确 解 为 2 sin t uex： 2 2 ( ,0)sin() (0, )(1, )0 01,00.5 uu tx u xx utut xt (1.3.1) 设空间步长1/hM ，时间步长为0.5/ N
6、 ，网格比 2 /rg h。 向前格式： 11 1 2 2 ,1,.,1,1,., kkkkk jjjjj uuuuu jMkN h 边值条件： 11 00101 11 2 2 0, kkkkk kkuuuuu juu h ， 11 11 112 2 , kkkkk kk MMMMM MM uuuuu jMuu h . 初值条件： (,0)sin,0,1,., jj u xxjM 对时间和空间进行分割，令M=40 ，N=1600 ，通过 Matlab 计算得到该方程的 解析解，数值解以及相对误差如下： 图(1) 解析解的图像 图(2) 数值解的图像 图(3)M=40,N=1000的相对误差的图
7、像 我们取部分精确解和数值解进行比较，结果如表(1) xt 数值解精确解相对误差 4 1.1700 10 4 1.6580 10 4 1.2752 10 5 7.445610 5 5.3755 10 4 1.0674 10 4 1.7410 10 5 7.589710 5 1.7407 10 表(1) 数值解与精确解的比较 由表(1) 我们可以看出，精确解和数值解的绝对误差在 4 10以内，因此可以 得出，在分割 M=40 ， N=1600下，该有限差分方法对方程 (1.3.1)是收敛和稳定的。 下面，我们比较在不同的分割下对有限差分算法精度的影响。 在扩散系数1a不变的情况下，讲时间和空间进
8、行更加细密的分割，取 50,10000MN，其中， M表示空间上的分割， N 表示时间上的分割。观察数 值解与精确解在节点 , jk xt 处的绝对误差值，如下图所示： 图(4)M=50,N=10000的相对误差的图像 由图(3) 和图(4) ， 两者在节点处的误差收敛分别是在 4 10和 5 10以内，因此， 可以得出的结论是：在收敛范围内，随着时间和空间的分割越细，节点数越多， 精确解和解析解之间的绝对误差也越小，有限差分法的算法精度也越高。 最后，我们比较网比1/ 2r以及1r时扩散方程的收敛情况。 当网比1r时，此时我们取M=10 ，N=50 ，这时，方程的数值解与解析解还 有相对误差
9、图如下： 图(5)M=10,N=50 的解析解的图像 图(6)M=10,N=50 的数值解的图像 图(7)M=10,N=50 的绝对误差的图像 此时，我们观察绝对误差发现，扩散方程(1.3.1)时不收敛不稳定的。而前 面我们已经知道，到网格比为 1 2 r时，方程是收敛稳定的。所以，我们可以验 证，当网比 1 2 r时稳定，当 1 2 r时不稳定。 参考文献 1 李荣华，刘播. 微分方程数值解法M. 北京 . 高等教育出版社. 2 王曰朋 . 偏微分方程数值解OL. 未知 . 偏微分方程的Matlab 解法 OL. 周品，何正风 .MATLAB数值分析 .M.北京 . 机械工业出版社. 附录：
10、 L=1; M=40; N=1600; alfa=1; lambda=;%网格比 %*% h=L/M;%空间步长 x=0:h:L; x=x; tao=lambda*h2/alfa;%时间步长 tm=N*tao;% 热传导的总时间tm %tm=; t=0:tao:tm; t=t; % 计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); U(:,1)=sin(pi*x); U(1,:)=0; U(M+1,:)=0; %*用差分法求出温度U，与杆长L，时间 T的关系 *% for k=1:N j=2; while j=M U(j,k+1)=lambda*U(j+1,k)+(1-2*lambda)*U
11、(j,k)+lambda*U(j-1,k); j=j+1; end end length(U); %*设置立体网格 *% for i=1:N+1 X(:,i)=x; end for j=1:M+1 Y(j,:)=t; end mesh(X,Y,U); legend(数值解 ); xlabel(X); ylabel(T); zlabel(U); z=zeros(M+1,N+1); for j=1:M+1 for k=1:N+1 z(j,k)=exp(-pi*pi*t(k)*sin(pi*x(j); end end %mesh(x,t,z) legend(解析解 ); xlabel(X); ylabel(T); zlabel(Z); for j=1:M+1 for k=1:N+1 y(j,k)=abs(z(j,k)-U(j,k); end end mesh(x,t,y); legend(绝对误差 ); xlabel(X); ylabel(Y); zlabel(error);
