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1、湘名校教育联盟2020年上学期高二期末考试数学一、选择题1已知复数满足，则（ ）ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%
2、4已知向量，若与垂直，则（ ）ABCD5已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）ABCD6已知为锐角，则（ ）ABCD7已知的内角所对的边分别为，若，且，则的面积为（ ）ABCD8新课程改革把劳动与技术课程作为79年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）ABCD二、多项选择题9关于二项式的展开式，下列结论错误的是（ ）A展开式所有的系数和为1B展开式二项式的系数和为32C展开式中不含
3、项D常数项为12010古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）A1B2C3D511已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（ ）AB的最小正周期为6C的图像关于直线对称D在单调递减12已知偶函数对任意都有，当时，实数是关于的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（ ）A的最小正周期是12B图象的对称轴方程为，C当时，关于的方程在上有唯一解D当时，存
4、在，使得的最小值为0三、填空题13曲线在点处的切线方程为_.14已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差_.15某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，_（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82816如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面正方形内的动点，当平面时，点的轨迹长度为_，若点轨迹的两端点和点，在球的球面上，则球的体积为_.
5、四、解答题17在，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知的内角，所对的边分别为，_，角的平分线交于点，求的长.18已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，求数列的前项和.19在如图所示的多面体中，平面平面，为正方形，分别为，的中点，且，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20已知椭圆：的离心率为，直线：与轴的交点为，与椭圆交于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：是定值.21国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的
6、比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为，求随机变量的分布列和期望.22已知函数.（1）证明：当时，在上单调递增；（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.三湘名校教育联盟2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1B【解析】方法一：因为，所以，所以.故
7、选B.方法二：设，所以，因为，所以.故选B.2C【解析】因为，所以，故选C.3B【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B.4A【解析】依题意，又与垂直，所以，即，所以.故选A.5A【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以，即渐近线方程为，结合选项可知，渐近线经过点，故选A.6C【解析】方法一：因为为锐角，所以，所以，故选C.方法二：提示也可以把展开
8、，结合同角三角函数基本关系式来求解.7D【解析】因为，即，在中，所以，所以，所以.故选D.8A【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率.故选A.二、多项选择题9BCD【解析】因为二项式，令可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为240；当时，可得项，所以错误的应选BCD.10AD【解析】设，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得或.故选AD.11ABC【解析】因为函数经过
9、，所以，所以，又因为时，函数值为0，所以，又，所以，所以，所以，可得的最小正周期为；当，即在，上单调递减，直线是的一条对称轴.故选ABC.12BCD【解析】因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故B正确；当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故C正确；当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，.其中正确的是BCD.三、填空题13【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为.14【解析】方法一：由等差数列性质前项和为公式可知，所以，所以，又，所以，所以
10、.方法二：，所以.方法三：依题意，解得.15有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.16；【解析】依题意，平面时，点是平面内的动点，所以可得点与点的轨迹构成的平面与平面平行，如图所示，因为是的中点，取中点，所以点轨迹即为线段，因为正方体棱长为2，所以.球的直径就是，长为3，故球体积为.四、解答题17解：因为，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在中，因为，由余弦定理可得，因为，所以；又是角的平分
11、线，所以，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以.18解：（1）因为数列是首项为2，公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，由2可得，由可得，所以19解：（1）证明：取中点，连接，点，分别为，的中点，又，所以，所以是等腰三角形，所以为平行四边形，所以，因为平面平面，为矩形，所以平面，所以，所以，又，所以平面，所以平面.（2）空间向量法：如图所示，在平面内，作，分别以，为，轴，建立空间坐标系.所以，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，所以，即，所以，所以.所以二面角的余弦值为.立体几何法：如图，在平面内，作，垂足为，连接，即为二面角的平面角，再计算求余
12、弦值即可思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角为，由平面得.20解：（1）依题意可知，又，所以，所以椭圆的标准方程（2）设点、，联立，消去得，恒成立，由韦达定理得，因此，.综上所述，.21解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以（2）依题意，的可能取值为2，3，4，5，6.，当时，有如下情况：前两场胜利，第三场失败；第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.，当时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，所以的分布列为23456所以的数学期望为.22解：（1）证明：因为，所以，当时，恒成立，在上单调递增.（2）由题意，对，恒成立，设，又设，则，因此在单调递增，所以，当时，即，在单调递增，故有，即适合题意.当时，若，则取，时，若，则在上存在唯一零点，记为，当时，总之，存在使时，即，所以单调递减，故时存在使不合适题意，综上，实数的取值范围是.第（2）题也可解答如下：.设，则，在区间上递增，即，.而，实数的取值范围是.
