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1、专题讲座专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析（一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空 间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中， 课程安排了简单几何体的概念及体积公式， 三视图的基本知识， 正方体
2、的截面、 展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学 习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作 确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足 也是很明显的， 即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析， 不能产生对空间图 形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几 何教材看， 无论教材怎样变化， 高中立体几何的最终目标都是要从学生
3、可接受的理论高度来 认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中大纲或课程标准还引入了空 间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧 式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方 向展开，无论空间解析几何、高等几何、微分几何等无不是通过代数的手段对 几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展 关于传统几何的改革， 吴文俊先生说 “对于几何， 对于研究空间形式， 你要真正的腾飞， 不通过数量关系，我想不出有什么好办法”吴文俊先生明确指出为了使几何“腾飞”，必 须采取“数量化”的方法，也就是
4、代数化几何的处理方法 因此从几何的发展、几何的研究方法和几何课程的变化整体看，随着几何关系越来越 复杂， 用代数方法研究几何问题成为几何研究发展的大趋势， 而且研究几何使用的代数的工 具也是不断提升.可以设想，如果仍然用综合几何方法方法平面圆锥曲线的性质是多么的困 难.在空间向量进入中学几何之后，复杂的空间几何问题的解决变得如此的简单. 那么是不是在中学就应该完全抛弃综合几何，把中学的立体几何变成纯粹的代数几何 呢？回答是否定的， 因为尽管代数几何可以更深刻地认识复杂几何图形的性质， 但直观研究 对于初级阶段没有更多知识的学生具有简单学的特点 ； 另一面，几何直观在发现问题，寻找 问题的切入点
5、等方面在几何研究中仍起着重要的作用.正如庞加莱所说：“我们是通过逻辑 去证明，但我们是通过直观去创造.” 从历史的视角看，欧几里德公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下 了不解之缘， 很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材.然而就推理来说， 既有合情推理， 又有演绎推理，而且从数学自身发展的过程来看，即使演绎推理也并非“几何”所独有，它 广泛存在于数学的各个分支中. （3）几何教育的改革 英国著名数学家 M.阿蒂亚曾认为，几何是直观逻辑，代数是有序逻辑。这表明，几何 学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。因此，培养学生 的几何直观能力、把握图形的能力就成
6、为高中学习几何的主要目的。 近几十年的国际数学教育改革中几何推理的要求发生了一些变化，在学习演绎推理的 同时，强调从具体情境或前提出发，进行一定的合情推理 ； 从单纯强调几何的演绎推理，转 向体现几何研究特点的全面的推理论证方法，只有这样的改革，才能更全面、准确地上体现 了几何课程的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、 合情推理等“过程性”方面的教育价值. 2.“立体几何初步”的知识结构与能力结构2.“立体几何初步”的知识结构与能力结构 （1）大纲和课标中“立体几何初步”知识结构的比较 大纲中的立体几何从研究是按照从局部到整体的方式呈现的，这种教材结构充分 体现
7、了几何公理体系清晰的逻辑关系，但从认知的角度看，学习的困难较大. 由于学生接触空间几何体，先感受到的不可能是点、线、面，而是实实在在的物体， 因此课标从人认识事物的基本规律入手，对其内容进行分层设计，在必修 2 中，先从对 空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后， 在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质 并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入 研究空间几何体做了必要的准备.在选修 2-1 中，首先引入空间向量，在必修 2 的基础上完 善了几何论证的理论基础，在此基础上对空
8、间几何体进行了深入的研究. 因此 课标 几何课程的第二个整体， 体现的是从更加理性的思想方法研究空间几何体， 体现的是计算和推理论证的逻辑依据的整体到位和全面的数学思想方法及能力要求的整体 到位. 由此可见，课标呈现的是从整体到局部再到整体的结构，这种结构虽然在知识的 逻辑关系上做了一些模糊处理， 但它关注学生的思维过程， 为合情推理与演绎推理的教学创 设了条件，符合学生的认知规律，更有利于学生对空间几何的认识. （2）大纲和课标中“立体几何初步”能力结构的比较 “立体几何初步” 大纲空间想象，逻辑推理空间想象，逻辑推理 课标空间想象空间想象，逻辑推理（合情、演绎） 大纲中的立体几何对能力的要
9、求除了运算能力外，教材强调公理化体系，注重逻 辑推理，重点要发展学生的空间想像能力和逻辑推理能力（尤其是演绎推理），这两个能力 在学习的一开始就齐头并进， 对学生提出很高的能力要求， 对初学立体几何的学生来说是一 个较高的门槛. 课标首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几 何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理 （归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合， 完善了空间几何推理论证的理论基础，并
10、对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中， 把空间想像能力， 逻辑推理能力， 适当分开， 有所侧重地、 分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何 直观能力， 同时降低学习立体几何的门槛， 同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发 展的课标理念. 3.“立体几何初步”中的推理论证方法3.“立体几何初步”中的推理论证方法 渗透公理化思想，提倡合情推理和演绎推理相结合 （1）正确认识立体几何中的推理教学 课标在内容的设计上不是以单纯的论证几何为主线展开几何研究的，而是让学生 在自主探索的过程中，理解有关数学概念，体会数学思想方法，将合情推理
11、与演绎推理有机 的结合在一起. 所以表面上看，课标对线面平行、线面垂直的判定不作证明，只要求操作确认， 似乎削弱了立体几何的逻辑推理与证明，但课标的理念十分清晰，就是分步到位，因此 立体几何教学不应忽视推理与证明的训练， 应首先使学生在特殊情境下通过直观感知、 操作 确认，对空间中的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直 观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定 理加以逻辑证明，通过上述数学活动培养学生的空间想象力和逻辑推理能力. （2）既要讲推理，更要讲道理 在没有充分提供推理论证的理论依据的前提下，讲道理也是培养推理论证能力
12、的一种 方式，将合情推理与演绎推理有机结合，做到既要讲推理，更要讲道理，在合情推理与演绎 证明中间找到一个适当的平衡点，避免了仅仅靠操作确认，直观判断的低层次思维. （3）体现几何课程的教育价值 几何教学中的基本思想方法和思维方法体现了数学强大的教育功能，合情推理、演绎 推理、公理化思想对于人的科学思想和世界观的形成有巨大的影响力，因此在几何教学中， 有意识地培养学生把握图形的能力， 培养学生合情推理、 演绎推理的能力， 渗透公理化思想， 可以体现几何课程的教育价值. （二）“立体几何初步”教学内容的重点、难点以及研究方法（二）“立体几何初步”教学内容的重点、难点以及研究方法 1.重点：1.重
13、点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点：2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明；
14、直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明. 3.研究方法：3.研究方法： 直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算. 二、“立体几何初步”的教学研究与建议二、“立体几何初步”的教学研究与建议 （一）“空间几何体”的教学研究与建议（一）“空间几何体”的教学研究与建议 “空间几何体”的内容包括：“空间几何体的结构”、“空间几何体的三视图和直观 图”、“空间几何体的表面积与体积”三个部分，它们分别从几何体的结构和概念、几何体 的空间图形和正投影图形、几何体的度量三个视角刻画了几何体的特征. 学习“空间几何体”是培养学生学生空间想象能力的大好时机，是“空间点、线、面 的位置关系” 学习的知识基础与能
15、力基础， 缺乏对空间几何体的认识能力不仅 “空间几何体” 的相关内容学不好，而且对于“空间点、线、面的位置关系”的学习影响很大（空间想象能 力与推理论证能力相互影响）. 1关于“空间几何体的结构”的教学建议1关于“空间几何体的结构”的教学建议 （1）搭建学习的基础 “空间几何体的结构” 中的几何概念是通过 “线、 面” 来刻画的， 不同的是这里的 “线、 面”是用空间几何体中的线段和围成几何体的面（多边形），这样的处理使得学生在具体的 几何体的学习中更容易理解具体的“线、面”，为将来学习抽象的点、线、面提供初步的经 验，因此，应抓住机会渗透通过具体理解抽象和用几何元素刻画几何对象的思想方法.
16、（2）几何概念的理解应注意归纳和辨析 几何概念的教学中应注意通过若干几何图形的观察与提炼共性的方式概括某一类几何 体的特征；另一面应通过文字或图形让学生对几何概念从文字及空间图形等方面进行辨析， 深化对概念的理解. 例：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是否是棱柱？ 分析：对照定义“一般地，有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围 成的多面体叫做棱柱”，缺少“每相邻两个四边形的公共边都互相平 行”，反例如图. 例：每个面都是平行四边形的几何体是否是棱柱？ 分析：由定义缺少“每相邻两个四边形的公共边都互相平 行”，反例如图. （3）关于直棱柱、正棱柱、正棱锥等内容的教学建议 由于学生还没有学习直线与平 面、平面与平面的平行和垂直等位置 关系等相关知识，因此在“空间几何 体的结构”中可以以“直观感知、操 作确认”从直观的方式介绍给学生，严 格的概念可以在“空间点、直线、平面的位置关系” 部分介绍，以达到从本质上把握这些空间几何体的特征.所以，这部分的安排，我们认为应 遵循“整体局部整体”的原则. （4）直观的基
