《金融数学-第四章资料讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金融数学-第四章资料讲解（109页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、金融数学（引论）,主讲人：那日萨,2009年9月,利息理论应用,第二章-2,第四章 本金利息分离技术,问题的提出： 在年金的期限内，市场会有很多的变化，投资者(融 资者)通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值. 如何分析现金流中的内在价值（本金）和时间价值（利息)? 价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法 (amortization schedules )和偿债基金方法(sinking Fund),利息理论应用,第二章-3,摊还表方法 对未清偿债务本金和利息的定期支付 (如贷款的分期尝付)，且利息偿还优先。 偿债基金方法 借款人为偿还债务成立基金并在指 定期限内分期拨款入基金，累计起一
2、笔足够款项以偿还未来到期的债款(一般的债券发行多附有要求借款人设立偿债基金的条款) 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为 “本金”和”利息”两部分，进而确定投资期间每个时刻的未结贷款余额。,利息理论应用,第二章-5,计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法 预期法 用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额。 追溯法 用原始贷款额的累积值扣除所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额。 注：这里的利率即为贷款利率 思考： 两种方法的计算结果会是一致的吗？,利息理论应用,第二章-6,分析：在贷款之初有 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边同时累积到还款期间的某个指定
3、时刻则有 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻的价值之和 上式右边可以分成两部分：过去的还款和未来的还款，前者的价值计算为终值，后者的价值计算为现值，从而上式又可以表示为：,利息理论应用,第二章-7,原始贷款额的终值 = 过去还款的终值 + 未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边 则新等式的左边 表示追溯法，而右边表示预期法，两者相等。 讨论:两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣之分,一般情况下,如果所有的还款额和还款时间已知则采用预期法;如果还款次数未定或最后一次的 还款金额未定,则采用追溯法.,利息理论应用,第二章-8,记号 表示时刻t 的未结贷款余额(第t 次还款后的
4、瞬间) 为 了 区 别 所 采 用 的 计 算 方 法 分别用(prospective )和 ( retrospective) 表示预期算法和追溯算法的计算结果 原始贷款金额 一般用L 表示 典型还贷情形下的未结贷款余额的计算: 情形 1 .还贷金额固定:贷款利率为i ,n 次偿还,每次1 元；,利息理论应用,第二章-9,预期法:(付款现金流确定) 追溯法: 因为原始贷款 ,从而有 预期法和追溯法计算结果相同,即有 未结贷款余额满足下递推关系,利息理论应用,第二章-10,情形2. 已知贷款金额:设原始贷款金额为L ,贷款 贷利率为i ,n 次还清 首先计算每次的还款额 R: 或 预期法:(付款
5、现金流确定),利息理论应用,第二章-11,追溯法： 例 ：某贷款的还贷方式为：前五年每半年2000元； 后五年每半年还1000 元。如果半年换算的挂牌利率为 10%。 分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷 款余额。 解： 1) 预期法：,利息理论应用,第二章-12,2. ）追溯法： 原始贷款金额为 从而有 例：某三十年的贷款每年还1000 元，在第十五年的正常还款之后，借款人再一次多还2000 元。如果将其全部用于扣除贷款余额。剩余的余额分12年等额还清，年利率9% ，计算后12年的年还款额。,利息理论应用,第二章-13,解： 用预期法计算第十五次还款后的贷款余额为 因为又多还了 2000
6、 元,从而此时实际贷款余额应为 6060.70 元。 后十二年的年还款额 X 应满足以下方程 即: 注：较原先大致降低了 15.4%,利息理论应用,第二章-14,摊还表 关键点： 在有些情况中 ，有必要将每次的还款额分解为“还本金”和“还利息”两部分，比如在本金和利息的税收是不一样的时候、涉及提前还贷的时候等等。 摊还方法的基本原理： 在贷款的分期还款中 ，利息偿还优先即首先偿还 应计利息，余下的部分作为本金偿还。,利息理论应用,第二章-15,摊还的具体表示： 设第 t 次的还款额为R ，等额还利息部分为 还本金部分为 ,记 为第t 次还款后瞬间的 未结贷款余额,则有 其中 在不断的减少未结贷
7、款余额（本金），与利息无关。,利息理论应用,第二章-16,摊还表将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息，同时列出每次还款后的未结贷款余额 例:下表为贷款利率为i ,每次还款1 元,共计n 次 的摊还表.贷款额为,利息理论应用,第二章-17,利息理论应用,第二章-18,分析: 1 )在第一次还款的1 元中,利息部分为 . 本金部分为 未结贷款余额为原贷款扣除已还的本 金, 即 对任意时刻 t 有类似的结论，即：时刻t 的1 元还款可以分解为利息量 和本金量 ，两者的计算公式分别为：,利息理论应用,第二章-19,从而未结贷款余额为 2） 所有本金之和等于原始贷款，即 3 ）所有利息之和等于还款额
8、总和与原始贷款额之差，即,利息理论应用,第二章-20,第四章-20,4 ） 本金序列依时间顺序构成递增的等比级数 比值为(1+i ),5 ） 利息序列依时间顺序构成递减数列,结论： 在等额还款方式下 ， 前期的还款主要用于偿还利息， 贷款本金 （余额） 的降低幅度不大 。,利息理论应用,第二章-21,利息理论应用,第四章-21,例： 30 年期贷款，贷款利率 6% ，每年还款 30000 元，摊还表本息示意图如下：,利息理论应用,第二章-22,利息理论应用,第四章-22,一般情况下贷款的摊还表 1） 每次还款额为R， 则有：,未结贷款余额为,2） 原始贷款额为L， 则每次的还款额R 为,利息理
9、论应用,第二章-23,利息理论应用,第四章-23,进而有摊还表的对应计算,未结贷款余额为,利息理论应用,第二章-24,利息理论应用,第四章-24,Note： 摊还表计算中的递推公式 B0=L ，It = iBt-1 ，Pt= R-It , Bt= Bt-1-Pt,例：1000 元贷款、利率8%的四年还贷的摊还表,利息理论应用,第二章-25,利息理论应用,第四章-25,例：现有1000 元贷款通过每季度还款100 元偿还，已知季换算挂牌利率16% 。计算第四次还款中的本金量和利息量。 解：第三次还款后的未结贷款余额为,从而有,注： 回溯法，不必计算最后一次还款的金额。,利息理论应用,第二章-26
10、,利息理论应用,第四章-26,例：甲从乙处借款10,000 元，双方商定以季挂牌利率8%分六年按季度还清。但是，在第二年底（第八次还款之后）乙将未到期的贷款权益转卖给丙，但乙丙双方商定的季挂牌利率为10% 。分别计算丙和乙的利息总收入。,解：六年中甲的每次还款额为,利息理论应用,第二章-27,利息理论应用,第四章-27,1） 丙的利息总收入 计算丙的买价为,从而丙在后四年的利息收入总和为,2） 乙的利息总收入,算法一：计算乙在第二年底的未结贷款余额为,乙在前两年收回的本金为,利息理论应用,第二章-28,利息理论应用,第四章-28,10,000 - 7178.67 = 2821.33 乙在前两年
11、的总收入为 8(528.71) = 4229.68 从而乙在前两年的利息总收入为 4229.68 - 2821.33 = 1408.35 算法二：乙在这笔贷款中的总收入为 8(528.71) + 6902.31 = 11131.99 总支出为10,000 元，从而利息收入应为1131.9 元。思考：你认为哪一种算法更合理？,利息理论应用,第二章-29,利息理论应用,第四章-29,例：现有年收益率为i 的n 年投资，每年底收回1 元。但是，在第二年内的实际收益率为j ，且有j i。 在以下两种情况下，计算第二年以后的年收入： 1 ）第三年开始的年收益率仍然为i 2 ）第三年开始的年收益率保持j
12、解： ，而第一年底的未结贷款余额为 设所求年收入为X （从第二年还款开始），则,1) 一方面有,利息理论应用,第二章-30,利息理论应用,第四章-30,另一方面，B 2等于从第三年开始的所有还款的现值之和，即,从而有,注： 如果原来的年收益为R ，则新的年收益应为,利息理论应用,第二章-31,利息理论应用,第四章-31,2） 类似的，由B2的两种算法可得,即有：,可以证明，当 时，有,利息理论应用,第二章-32,利息理论应用,第四章-32,4.2 偿债基金（sinking fund） 偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次还清而建立的还贷基金 注：基金在整个还贷期间采取“零存整取”方式 注：
13、在还贷期间的每个时刻的“未结贷款余额”应该是原始贷款额扣除偿债基金后的余额 i 原贷款利率 j 偿债基金的累积利率,利息理论应用,第二章-33,利息理论应用,第四章-33,利息理论应用,第二章-34,1. 设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金的金额为S (等额) ，共计n 次，记这种情况下的现金流现值为 (原始贷款额度) ，则有,利息理论应用,第四章-34,原贷款利率与偿债基金累积利率不同,同时有累积偿债基金的关系式,注： 每期还利息并在偿债基金中累积到期还本,利息理论应用,第二章-35,例：当原始贷款额为1 时，情形如何？ 解：每次还利息i ，并用 累积偿债基金，到期还本。,利息理论应
14、用,第四章-35,联立上述方程可得：,注： 下面的关系式成立,利息理论应用,第二章-36,利息理论应用,第四章-36,分析：由于,从而有,以及,利息理论应用,第二章-37,利息理论应用,第四章-37,讨论： 1）当 时，有 2）当 时，有 3）当 时，有,分析：注意到,从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少。,利息理论应用,第二章-38,利息理论应用,第二章-38,偿债基金下的利息本金分解 注:原始贷款额为 思考:若原始贷款额为1 呢?,利息理论应用,第二章-39,利息理论应用,第二章-39,一般情形: 原始贷款额为L ,分n 次还清 每次还款额为 还
15、利息为 偿债基金累积为,利息理论应用,第二章-40,利息理论应用,第二章-40,2.偿债基金方式的收益率分析 问题的提出: 在偿债基金方式下,出现了两个利率,i 和j ,这时的实际收益率该如何考虑呢? r 借款方实际的还贷利率 结论:有以下关系式成立 或,利息理论应用,第二章-41,利息理论应用,第二章-41,注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷款方实际的收益率，否则不然。 结论： 1 ）若 j i 2 ）若 j i 时 ，则有 r i 2 ）当 j i 时 ，有 可得 r i,利息理论应用,第二章-42,利息理论应用,第二章-42,注：可用 Excel 作实际贷款利率r 的数值计算,利
16、息理论应用,第二章-43,利息理论应用,第二章-43,4 .偿债基金表,净利息,利息理论应用,第二章-44,利息理论应用,第二章-44,利息理论应用,第二章-45,利息理论应用,第二章-45,时刻t 的未结贷款余额为 从而按照摊还的思路,时刻t 所还本金应为 容易验证,利息理论应用,第二章-46,利息理论应用,第二章-46,例:乙方向甲方提供1000 元的贷款,分四年还清。还 贷方式：贷款年利率10% ，甲方每年除还利息外，还要以年利率8%累积偿债基金。同时,另有丙方也可以提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异的？ 解：两种方式没有区别等价于两种方式下有相同的年还款额，若丙的贷款利率为i ，则应有,利息理论应用,第二章-47,利息理论应用,第二章-47,即 求数值解可得 i = 10.94% 注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额 注： 实际贷款利率 10.94%比8%
