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1、金融时间序列模型,课程安排,课程内容,主要介绍的统计方法和模型 平滑方法(确定性时间序列分析） ARMA(ARIMA)模型 ARCH类模型 回归模型在金融中的应用 非平稳模型-协整 使用的是金融领域的时间序列数据 截面数据 时间序列数据 Panel（面板）数据,课程内容,金融市场基本概念和基本统计概念（1次） 确定性时间序列分析和技术分析（1次） 收益率预测：平稳线性ARMA模型（3次1次上机练习） 风险预测：ARCH模型与VaR模型（3次1次上机练习） 时间序列数据回归模型（2次） 非平稳模型（协整）（2次） 机动1次课 随堂考试1次课,可以获得数据的网站,.yahoo（国际数据） （国内数
2、据） （清华大学免费试用） RESET锐思数据库（校图书馆）,金融时间序列模型,金融和统计基本概念,金融时间序列模型,第一节：收益率基本概念,第一节要点,周期收益率 简单收益率 对数收益率 年收益率的几个概念 简单年收益率 复利年收益率（或有效收益率） 连续复利年收益率（或对数收益率）,收益率,例1： 如果某投资顾问向你介绍两种股票，资产A收益率10，资产B收益率15。根据这句话，你能决定购买哪支股票吗？,收益率,通过对问题一的回答强调关于收益率的两个特点： 1）收益率的计算与时间长度有关，如果不特别指明时间长度，则表示是年收益率。 2）收益率的大小与风险联系在一起。收益率大的资产风险也大。,
3、表1：从雅虎上收集到的原始数据,续表1,周期简单收益率的计算,基本计算方法 带分红时的计算方法 拆分股票时的计算方法,周期对数收益率的计算,对数收益率 支付红利或拆股的资产的对数收益率 如果支付红利或拆分的话，价格pt是支付红利或拆分后的价格。,年收益率,例2：假设某资产，每半年支付一次利息，以半年为周期的收益率是5。如果现在投资1元，这个资产的年收益率是多少？,年收益率,简单收益率，用R表示 ： R2510 复利收益率（又称有效收益率，实际收益率），用Re表示： 连续复利收益率，用Rc表示： Rc =LN(1+ Re)=9.758%,如何理解连续复利收益率,投资A元，投资时间n年，年简单收益
4、率R（用小数表示），按照复利投资，那么n年后的收入用FVn表示： 如果每年支付一次利息 如果每年支付m次利息 如果m趋于无穷,如何理解连续复利收益率,例3：假设简单收益率10，一年支付m次利息，那么一年后的收入。 m=1 110 m=4 110.38 m=52 110.51 m=365 110.5155 m无穷大 110.5171,如何理解连续复利收益率,投资等价概念：两个投资活动是等价的如果两项投资初始投资相同，期末收入相同。期末收入的计算按照复利方式计算。,如何理解连续复利收益率,连续复利收益率：以该利率连续支付利息得到的收入与一年支付m次利息的收入相等，用公式表示：,年收益率计算公式,简
5、单收益率 Rm周期收益率 复利收益率（有效收益率） 连续复利收益率,收益率,思考：如果m=1时，三种年收益率的关系是什么？与周期收益率的关系是什么？ 思考：m不大于1时，三种收益率之间的大小关系。,收益率,课堂练习：假设每季度支付一次利息，简单年收益率8，那么周期（每季度）收益率？有效年收益率？连续复利年收益率？,简单收益率与对数收益率,当x很小时， log(1 + x) x 所以 Rc = log(1 + R) R 例如 log(1 +0.05) = 0.0488 log(1 0.05) = -0.0513,金融时间序列模型,第二节：基本统计概念,第二节要点,对数正态分布 矩，偏度，峰度，分
6、位数 协方差，相关系数，独立 多个随机变量线性组合的方差和均值 假设检验,统计基本概念,课堂练习 请画出正态分布的图形。写出密度分布函数。 标准正态分布95的置信区间？ 如果某正态分布均值3，方差4，如何标准化？,对数正态分布,如果某随机变量X取自然对数之后服从正态分布： Ln(X)=zN（z，z2） 那么该随机变量X服从对数正态分布。记为XLNN（ z ，z2 ）。,对数正态分布的形状,分布图,统计概念回顾,随机变量X的期望： =E(X) 随机变量X的方差： 2=E(X- )2 矩k-阶矩E(Xk),k-阶中心矩E(X)k 偏度：S=E(X-)3/3 峰度：KE(X-)4/4,偏度,S=0
7、S0 S0,均值中位数 均值中位数 均值中位数,峰度,K=3 K3 K3,正态分布的峰度3,基本的统计概念,尖峰分布主要强调分布尾部的特点。尾部厚的含义是尾部比正态分布有更大的概率。 用公式表示为：PYpXc，c是一个比较小的数。Y代表尖峰分布随机变量，X代表正态分布随机变量。 意义是：如果小概率事件发生的可能性大于正态分布所描述的情形，那该变量的分布应用尖峰分布来描述。,基本的统计概念：描述统计,样本均值Sample Mean,收益率的分布基本的统计概念,样本方差Sample Variance,收益率的分布基本的统计概念,样本偏度(Sample Skewness),收益率的分布基本的统计概念
8、,样本峰度Sample kurtosis,收益率的实证性质日收益率,证券种类 价值加权指数 等权指数 IBM CMC,均值 标准差 偏度 峰度-3 0.044% 0.89 -1.33 34.92 0.073 0.76 -0.93 26.03 0.039 1.42 -0.18 12.48 0.143 5.24 0.93 6.49,收益率的实证性质月收益率,证券种类 价值加权指数 等权指数 IBM CMC,均值 标准差 偏度 峰度-3 0.96 4.33 -0.29 2.42 1.25 5.77 0.07 4.14 0.81 6.18 -0.14 0.83 1.64 17.76 1.13 3.33
9、,基本的统计概念,1）从描述统计可以看到日收益率的峰度远远大于月收益率的峰度。在日收益率中指数的峰度大于单个证券的峰度， 2）证券的描述统计指标市值小的股票收益率大。日收益率几乎等于0，月收益率大一些。 3）指数的标准差小于单个股票的标准差。,分位数,如果某个随机变量的累积概率分布函数 F（x）连续并且严格递增，那么存在逆函数F-1。对任意在0和1之间的数q （q对应某个概率），F-1(q)被称为与概率q对应的分位数。用公式表示如下： P(X F-1(q) ) = q,分位数,分位数图示,样本分位数的计算,对于一组观测值：X1,X2,Xn: 令Pi=(i-0.5)/n Pi是一个概率值， i1
10、，n 与Pi对应的分位数是x(i) ，是把数据从小到大排列后的第i个数。表示成Q(Pi)= x(i),例题,数据为1.1 3.1 0.9 4.2 0.7 首先从小到大排列0.7 0.9 1.1 3.1 4.2 与概率Pi对应的分位数 P1=(1-0.5)/5=0.1 Q(0.1)=0.7 N(0.1)=-1.28 P2=0.3 Q(0.3)=0.9 P3=0.5 Q(0.5)=1.1 P4=0.7 Q(0.7)=3.1 N(0.7)=0.52 P5=0.9 Q(0.9)=4.2,QQ图,计算样本分位数，标在横轴上。 计算标准正态分布的分位数标在纵轴上。 如果图形是直线，说明是正态分布。,ser
11、ies y=0.5+0.1*nrnd,尖峰分布的QQ图,QQ图,检验数据是否是正态分布,检验统计量 其中S是偏度的某种度量，K是峰度的度量,n是样本个数。,假设检验,检验过程如下： 1）零假设H0：该组数据服从正态分布，对立假设：H1:数据不服从正态分布。 2）计算出JB 3）当零假设成立时，统计量JB服从2（2）分布。例如5%显著水平，对应的临界值=5.99， 即P（X5.99）=0.05。 假设步骤2计算出的JB135.99，所以拒绝零假设。,假设检验,假设检验步骤 确定零假设（原假设）和对立假设（备择假设） 选择统计量 确定判定规则（显著水平） 计算统计检验值 表述结果,如何计算p-值,
12、临界值,临界值,5%,统计量,P-值,零假设,零假设(原假设）（Null hypothesis）： 它总是带等号，既：=、 或 。 记为：H0 备择假设（对立假设）（Alternative hypothesis）：符号不带等号， 记为：H1或Ha,假设检验,假设检验的两种错误 真实情况 不拒绝H0 拒绝H0 H0表达正确 正确概率 第一类错误 H0表达错误 第二类错误 正确概率,假设检验,显著水平是犯第一类错误的概率 范围在110之间，最多是5 样本容量越大，显著水平可以选择的越小。,第三节：多个随机变量之间的关系,多个随机变量的统计概念,如何度量两个随机变量之间的关系？ 联合分布FX，Y(x
13、,y) 边际分布F(x) ，F(y) 条件分布： 给定一个随机变量X的取值后，另外一个随机变量Y的分布,记为： F(y|X=x),条件期望和条件方差,条件期望:给定X的取值时，Y的期望 E(Y)=EE(Y|X) 中条件期望根据Y基于X的条件分布计算出来； 外的期望是根据X的边际分布计算出来的。 条件期望E(Y|X)是随机变量，随着X等于不同的数值，条件期望也可以不同。 条件方差:给定X的取值时，Y的方差,多个随机变量的统计概念,独立 如果FX，Y(x,y) FX(x) FY(y) 那么这两个随机变量是相互独立的。,协方差和相关系数,COV(X,Y)=XY=E(X-X)(Y-Y) 如果COV(X
14、,Y)=0， X与Y不相关 它们衡量的是随机变量间的线性关系,几个不同自相关系数图形,独立与不相关,如果两个随机变量相互独立则它们一定不相关。 如果两个随机变量不相关，它们不一定是相互独立的。 课堂练习： 证明X与Y不相关 Y=X21，XN(0,1),多个随机变量的统计性质,N个随机变量的线性组合的一些性质 X1,X2,XN是一些随机变量， 考虑它的一个线性组合,多个随机变量的统计性质,该组合的期望值,方差,基本的统计概念,用矩阵表示前面的运算，定义随机向量 （ X1,X2,XN ）的方差-协方差阵,基本的统计概念,定义随机向量 （ X1,X2,XN ）的相关系数阵,基本的统计概念,该组合的方差用矩阵表示： wCOV(X)w, 其中w是权数向量w=(w1,w2,w n) 例如有三个随机变量X1,X2, X3，它们的方差分别为2，3，5，X1与X2的相关系数0.6, X1，X2与X3独立，那么0.3X1+ 0.2X2+0.5 X3的方差是多少,基本的统计概念,协方差阵,权数向量 W=(0.3 0.2 0.5),基本的统计概念,方差,资产组合的收益率,按简单收益率计算,包括三种资产的资产组合的收益率,资产组合收益率,所以资产组合预期收益率和方差等于,资产组合收益率,方差计算公式,
