1250编号初中圆题型总结

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1、圆的基本题型圆的基本题型 纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择 题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10 分15 分左右，圆的有关性质，如 垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题 将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在 性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析 如下。 一、圆的性质及重要定理的考查一、圆的性质及重要定理的考查 基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的 关

2、系.(3)圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质 【例 1】 （江苏镇江）如图，AB为O 直径，CD为弦，且CDAB，垂足为 H （1）OCD的平分线CE交O 于E，连结OE求证 ：E为弧 ADB 的中点 ； （2）如果O 的半径为1，3CD ， 求O到弦AC的距离； 填空：此时圆周上存在 个点到直线AC的距离为 1 2 【解析】 （1）OCOE，EOCE 又OCEDCE ，EDCE OECD 又CDAB，90AOEBOE E为弧 ADB 的中点 （2）CDAB，AB为O 的直径，3CD ， 13 22 CHCD又1OC ， 3 3 2 sin 12 CH COB OC 60COB ， 30

3、BAC 作OPAC于P，则 11 22 OPOA AB D E O C H 3. 【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段 OD 的长.在圆中 解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂 径定理和勾股定理结合起来解题.如图,O 的半径为r ,弦心距为d,弦长a之间 的关系为 2 22 2 a rd .根据此公式,在a、r 、d三个量中,知道任何两个量就 可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形

4、. 【例 2】 （安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧AD的三等分点， 46BOC ， 则AED的度数为 【解析】由B、C分别是劣弧AD的三等分点知，圆心角AOB=BOC=COD, 又46BOC ，所以AOD=138. 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED 69. 点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。 【强化练习】 【1】.如图， O 是 ABC 的外接圆， AD， CE 分别是 BC， AB 上的高，60BAC 且 AD，CE 交于点 H，求证：AH=AO (1)如图，在O 中，弦 ACBD，OEAB，垂足为 E，求证：OE= CD 1 2 (2

5、)如图，AC，BD 是O 的两条弦，且 ACBD，O 的半径为 ，求 AB2CD2的值。 1 2 【2】 （第 25 题）如图，O 是ABC 的外接圆，弦 BD 交 AC 于点 E，连接 CD，且 AE=DE，BC=CE （1）求ACB 的度数； （2）过点 O 作 OFAC 于点 F，延长 FO 交 BE 于点 G，DE=3，EG=2，求 AB 的长 二、直线与圆的位置关系二、直线与圆的位置关系 基础知识链接： 1、直线与圆的位置关系有三种: 如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离相离. 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此 时这条直线叫

6、做圆的切线切线,这个公共点叫做切点. 如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交相交,此时 这条直线叫做圆的割线割线,这两个公共点叫做交点. 2、直线与圆的位置关系的判定； 3、弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角； 4. 和圆有关的比例线段 （1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项； （3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项； （4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线

7、段长的积相等。 5. 三角形的内切圆 （1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的 内切圆、圆的外切多边形； 6、圆的切线的性质与判定。 【例 1】 （甘肃兰州）如图，四边形ABCD内接于O，BD是O 的直径， AECD，垂足为E，DA平分BDE （1）求证：AE是O 的切线； （2）若301cmDBCDE ， ，求BD的长 【解析】 （1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA OAODODAOAD ，OADEDA OACE AEDE，9090AEDOAEDEA ， AEOAAE是O 的切线 （2）BD是直径，90BCDBAD 3060DBCBDC ，120B

8、DE DA平分BDE，60BDAEDA 30ABDEAD 在RtAED中，90302AEDEADADDE ， 在RtABD中，903024BADABDBDADDE ， DE的长是 1cm，BD的长是 4cm D E C B O A D E C B O A O E D C B A O F C B A 【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且 垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【例 2】 （广东茂名）如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运 动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD （1）求证：ADB=E； （2）当点D运动到什么

9、位置时，DE是O的切线？请说明理由 （3）当AB=5，BC=6 时，求O的半径 （4 分） 【解析】 （1）在ABC中，AB=AC， ABC=C DEBC，ABC=E， E=C 又ADB=C， ADB=E （2）当点D是弧BC的中点时，DE是O的切线 理由是：当点D是弧BC的中点时，则有ADBC，且AD过圆心O 又DEBC， ADED DE是O的切线 （3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， 则AFBC，且BF= 2 1 BC=3 又AB=5，AF=4 设O的半径为r ，在 RtOBF中，OF=4r ，OB=r ，BF=3， r 2 3 2 （4r ） 2 解得r 8 25 ，O的半径是

10、 8 25 【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓 住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论. 【例 4】【例 4】 已知：如图 7，点 P 是半圆 O 的直径 BA 延长线上的点，PC 切半圆于 C 点，CDAB 于 D 点，若 PA：PC1：2，DB4，求 tanPCA 及 PC 的长。 O E D C B A 图 7 证明：连结 CB PC 切半圆 O 于 C 点，PCAB PP，PACPCB AC：BCPA：PC AB 是半圆 O 的直径，ACB90 又CDAB ABADDB5 【例 5】 已知 ： 如图 8，在 RtABC 中，B90，A

11、 的平分线交 BC 于点 D， E 为 AB 上的一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 长为半径作D。 求证：（1）AC 是D 的切线； （2）ABEBAC 分析：（1）欲证 AC 与D 相切，只要证圆心 D 到 AC 的距离等于D 的半径 BD。 因此要作 DFAC 于 F （2） 只要证 ACAFFCABEB， 证明的关键是证 BEFC， 这又转化为证EBD CFD。 证明：（1）如图 8，过 D 作 DFAC，F 为垂足 AD 是BAC 的平分线，DBAB，DBDF 点 D 到 AC 的距离等于圆 D 的半径 AC 是D 的切线 （2）ABBD，D 的半径等于 BD， AB 是D 的切线

12、，ABAF 在 RtBED 和 RtFCD 中，EDCD，BDFD BEDFCD，BEFC ABBEAFFCAC 小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点， 可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出， 可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类 【例 6】 已知 ： 如图 9，AB 为O 的弦，P 为 BA 延长线上一点，PE 与O 相切于 点 E，C 为中点，连 CE 交 AB 于点 F。求证： 分析：由已知可得 PE2PAPB，因此要证 PF2PAPB，只要证 PEPF。 即证PFEPEF。 证明一：如图 9，作

13、直径 CD，交 AB 于点 G，连结 ED， CED90 点 C 为的中点，CDAB，CFGD PE 为O 切线，E 为切点 PEFD，PEFCFG CFGPFE，PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB 证明二：如图 91，连结 AC、AE 图 91 点 C 是的中点，CABAEC PE 切O 于点 E，PEAC PFECABC，PEFPEAAEC PFEPEF，PEPF PE2PAPB，PF2PAPB 【例 7】【例 7】 （1）如图 10，已知直线 AB 过圆心 O，交O 于 A、B，直线 AF 交O 于 F（不与 B 重合），直线l交O 于 C、D，交 BA 延长线于 E

14、，且与 AF 垂直， 垂足为 G，连结 AC、AD 图 10 图 101 求证：BADCAG； ACADAEAF （2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与O 相切时，其它条件不变。 请你在图 101 中画出变化后的图形，并对照图 10 标记字母； 问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由。 证明：（1）连结 BD AB 是O 的直径，ADB90 AGCADB90 又ACDB 是O 内接四边形 ACGB，BADCAG 连结 CF BADCAG，EAGFAB DAEFAC 又ADCF，ADEAFC ，ACADAEAF （2）见图 101 两个结论都成立，

15、证明如下： 连结 BC， AB 是直径，ACB90 ACBAGC90 GC 切O 于 C，GCAABC BACCAG（即BADCAG） 连结 CF CAGBAC，GCFGAC， GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE ACFE，ACFAEC， AC2AEAF（即 ACADAEAF） 说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的 提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。 【强化练习】 【1】 （第 22 题）如图，O 的直径 AB 为 10cm，弦 BC 为 5cm，D、E 分别是ACB 的平分 线与O，AB 的交点，P 为 AB 延长线上一点，且 PC=PE （1）求 AC、AD 的长；（2）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由 【2】 （第 23 题） 如图， 在ABC 中， C=90， ABC 的平分线交 AC 于点 E， 过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，O 是BEF 的外接圆 （1）求证：AC 是O 的切线 （2）过点 E 作 EHAB 于点 H，求证：CD=HF 【3】 （第 25 题）如图，在O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接 AD， BC，BD （1）求证：ABDCDB； （2）若DBE=37，求ADC 的度数 【4】 （第 24