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1、1 r d d C B A O d r d=r r d 图 1 r R d 图 2 r R d 图 3 rR d 图 4 r R d 图 5 r R d 圆的总结圆的总结 一 集合：一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条
2、直线的距离等于定长的两条 直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线 三 位置关系：三 位置关系： 1 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点 A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 dr 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切（图 2） 有一个交点 d=R+r 相交（图 3） 有两个交点 R-rdR+r 内切（图 4） 有一个交点 d=R-r 内含（图 5） 无交点 dR-r 2 O C D A B O E DC B A F E D C B A O C B A O D C B A O C BA
3、 O C BA O 四 垂径定理:四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CE=DE 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O 中，ABCD 五 圆心角定理五 圆心角定理 六 圆周角定理六 圆周角定理 圆周角定理：同一
4、条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：AOB 和ACB 是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的 弧是等弧 即：在O 中，C、D 都是所对的圆周角 C=D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半 圆，所对的弦是直径 即：在O 中，AB 是直径 或C=90 C=90 AB 是直径 推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 BCBD ACAD 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称 1
5、推 3 定理，即上述四个结论中，只 要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个 结论也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF BAED 3 P B A O NM A O 即：在ABC 中，OC=OA=OB ABC 是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。 七 圆内接四边形七 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O 中，四边形 ABCD 是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C 八 切线的性质与判定定理八 切线的性质与判定定理 （1）判定
6、定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不 可 即：MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是O 的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN 是切线 MNOA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相 等， 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB 是的两条切线 PA=PB PO 平分BPA 九 圆内正多边形的计算九 圆内
7、正多边形的计算 （1）正三角形 在O 中 ABC 是正三角形，有关计算在 RtBOD 中进行，OD:BD:OB= （2）正四边形 1:3: 2 1 :1 :2 4 D C B A O E CB AD O B A O Sl B A O 同理，四边形的有关计算在 RtOAE 中进行，OE :AE:OA= （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在 RtOAB 中进行，AB:OB:OA= 十、圆的有关概念十、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心。 用到：线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心。 用到：角的平分线及性质 3、圆的对称性。 中心对称 轴对称 十一、圆的有关线的长和面积。十一、圆
8、的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2r, l= R 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S S圆 圆= r2 ， S扇形= S S圆锥 圆锥= lr 2 1 母线底面圆 lr 2 + r 底面圆 3、求面积的方法 直接法由面积公式直接得到 间接法即：割补法（和差法）进行等量代换 十二、侧面展开图：十二、侧面展开图： 圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ； 圆锥侧面展开图是 形， 它的半径是这个圆锥的 ， 它的弧 长是这个圆锥的底面的 。 十三、正多边形计算的解题思路：十三、正多边形计算的解题思路： 正多边形等腰三角形直角三角形。 连 OAB 转 化 O
9、D 作垂线 转 化 1 :3 : 2 5 可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。 圆 一、精心选一选，相信自己的判断！一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题每小题 4 分，共分，共 40 分分) 1. .如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2. .如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（ ） A50B80C90D100 3. .如图，AB 是O 的直径，ABC=30，则BAC =（ ） A90 B60 C45 D30 （ ） 4. . 如图，O 的直径 CDAB，AOC=50，则
10、CDB 大小为 ( ) A25 B30 C40 D50 5.已知O 的直径为 12cm，圆心到直线 L 的距离为 6cm，则直线 L 与O 的公共点的个数 为（ ） A2B1C0D不确定 6. .已知O1与O2的半径分别为 3cm 和 7cm， 两圆的圆心距 O1O2 =10cm， 则两圆的位置关 系是（ ） A外切B内切C相交D相离 7. .下列命题错误的是（ ） A经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 8. .在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径
11、的圆必定（ ） A与 x 轴相离、与 y 轴相切 B与 x 轴、y 轴都相离 C与 x 轴相切、与 y 轴相离 D与 x 轴、y 轴都相切 9 已知两圆的半径 R、r 分别为方程 065 2 xx 的两根，两圆的圆心距为 1，两圆的位 置关系是( ) A外离 B内切 C相交 D外切 10. .同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（ ） A1B21C12D122 11. .在 RtABC 中，C=90，AC=12，BC=5，将ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆 锥，则该圆锥的侧面积是（） A25 B65 C90 D130 12. .如图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，B
12、C=2，O、H 分别为边 AB、AC 的中点， 将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过 部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） 第 1 题图 A BO C 第 2 题图第 3 题图 12 题 A H BO C 1 O 1 H 1 A 1 C 第 4 题 A B O C D 6 A B +C D + 7 3 7 8 3 4 3 7 8 3 4 3 3 二、细心填一填，试自己的身手！二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. . 如图，PA、PB分别切O于点A、B，点E是O上一点， 且 60AEB，
13、则P_度 14. . 在O 中，弦 AB 的长为 8 厘米，圆心 O 到 AB 的距离为 3 厘米，则O 的半径 为_ . 15. .已知在O 中，半径 r=13，弦 ABCD，且 AB=24，CD=10，则 AB 与 CD 的距离为 _. 16. .一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为_ (假设绳索与滑轮之间没有滑动) 17. .如图， 在边长为 3cm 的正方形中， P 与Q 相外切， 且P 分别与 DA、 DC 边相切， Q 分别与 BA、BC 边相切，则圆心距 PQ 为_ 18. .如图，O 的
14、半径为 3cm，B 为O 外一点，OB 交O 于点 A，AB=OA，动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P 运动 的时间为_s 时，BP 与O 相切 三、用心做一做，显显自己的能力！三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共 7 小题，满分 66 分） 19. .（本题满分 8 分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm，水深 GF=2cm. 若水面上升 2cm（EG=2cm），则此时水面宽 AB 为多少？ E D C F O B AG 20. .（本题满分 8 分）如图，PA，PB 是O 的切线，点 A，B 为切点
15、，AC 是O 的直径， ACB=70求P 的度数 21. .（本题满分 8 分）如图，线段 AB 经过圆心 O，交O 于点 A、C，点 D 在O 上，连接 BAO P 第 13 题 图 图 17 题图 第 18 题 图 图 C BA D Q P O P C B A 7 O A DB C H AD、BD，A=B=30，BD 是O 的切线吗？请说明理由 22.如图所示，是O的一条弦，垂足为，交 O于点，点在O上ABODABCDE （1）若，求的度数；52AOD DEB （2）若，求的长(10 分)3OC 5OAAB 23.如图，、是O 的两条弦，延长、交于点，连结、交于点ABCDABCDPADBC ，求的度数(8 分)E30P 50ABC A 24. (12 分)如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 A、E
