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1、第 1 页 共 15 页 初 中 几 何 证 明 题初 中 几 何 证 明 题 经 典 题（一）经 典 题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF （初二） .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA150 求证：PBC 是正三角形 （初二） .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFO
2、GE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD A P C D B A F G C E B OD 第 2 页 共 15 页 3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、 CC1、DD1的中点 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形 （初二） 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB
3、、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENF 经 典 题（二）经 典 题（二） 1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M （1）求证：AH2OM； （2）若BAC600，求证：AHAO （初二） D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B A D H E M C B O 第 3 页 共 15 页 P C G F BQ A D E 2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 M
4、N 于 P、Q 求证：APAQ （初二） 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ （初二） 4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二） 经 典 题（三）经 典 题（三） 1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF （初二） G A O
5、D B E C QP NM O Q P B D E C N M A A F D E C B 第 4 页 共 15 页 2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证：AEAF （初二） 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE 求证：PAPF （初二） 4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三） 经 典 题（四）经 典 题（四） 1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，
6、PC5 求：APB 的度数 （初二） 2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB （初二） 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三） D E DA C B F F EPC B A ODB F A E C P A P CB P A D CB 第 5 页 共 15 页 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPADPC （初二） 经 典 难 题（五）经 典 难 题（五） 1、 设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC， 求证：
7、L2 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 C B D A F P D E CB A A P CB A C B P D A C B P D 第 6 页 共 15 页 4、 如图， ABC 中， ABCACB800， D、 E 分别是 AB、 AC 上的点， DCA300， EBA200，求BED 的度数 经 典 题（一）经 典 题（一） 1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所
8、以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 2. .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点， E D CB A 第 7 页 共 15 页 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和 1 2 1 2 1
9、2 1 2 GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2 ， 可得B2FC2A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 , 从而可得A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。 4.如下图连接 AC 并取其中点 Q， 连接 QN 和 QM， 所以可得QMF=F， QNM=DEN 和QMN=QNM，从而得出DENF。 经 典 题（二）经 典 题（二） 第 8 页 共 15 页 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF, 又F=ACB=BHD， 可得 BH=BF
10、,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG = 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。 第 9 页 共 15 页 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线
11、的高 EG，CI，FH。可得 PQ=。 2 EGFH+ 由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。 从而可得PQ= = ，从而得证。 2 AIBI+ 2 AB 经 典 题（三）经 典 题（三） 1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。 推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 第 10 页 共 15 页 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。 2.连接 BD 作
12、 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150， 又FAE=900+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出 AE=AF。 3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。 令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得 YZ=XY-X2+XZ， X Y Z YXZ-+ 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABPPEF ， 得到 PAPF ，得证 。 第 11 页 共 15 页 经 典 难 题（四）经 典 难
13、题（四） 1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。 可得PQC 是直角三角形。 所以APB=1500 。 2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。 可得BAP=BEP=BCP，得证。 3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： =，即 ADBC=BEAC， BE BC AD AC 第 12 页 共 15 页 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 =，即 ABCD=DEAC， AB AC DE DC 由+可得: ABCD+
14、ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。 4.过 D 作 AQAE ，AGCF ，由=，可得： ADE S 2 ABCD S DFC S =，由 AE=FC。 2 AE PQ 2 AE PQ 可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理） 。 经 典 题（五）经 典 题（五） 1.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 L= ； 第 13 页 共 15 页 （2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。 由于APDATP=ADP，
15、 推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ； 由（1）和（2）既得：L2 。 2.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。 第 14 页 共 15 页 既得 AF= = = 2 13 (1) 42 +23+ 42 3 2 + = = 2 ( 31) 2 +2 ( 31) 2 + = 。 62 2 + 3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = = 。 22 22 (2)() 22 a+52 2 a+ 第 15 页 共 15 页 4.在 AB 上找一点 F，使BCF=600 ， 连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形， 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ， 得到 BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： FGE 为等边三角形 ，可得AFE=800 ， 既得：DFG=400 又 BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ， 从而推得：FED=BED=300 。
