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1、1 初中数学规律探究题的解法指导初中数学规律探究题的解法指导 广南县篆角乡初级中学 郭应龙 新课标中明确要求 ： 用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组 图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水 平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是 ： “细心 观察，大胆猜想，精心验证” 。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路” 的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。 一、数式规律探究一、数式规律探究 通常给定一些数字、代数式、等
2、式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法， 考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式 中不同部分的数量关系） 或纵比 （比较不同等式间相同位置的数量关系） 找出各部分的特征， 改写成要求的格式。 数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点： 1.一般地，常用字母 n 表示正整数，从 1 开始。 2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。 正整数n-1,n,n+1 奇数2n-3,2n-1,2n+1,2n+3 偶数2n-2,2n,2n+2 3.熟记常见的规律 1、4、9、16. n n2 2 1、
3、3、6、10 (1) 2 n n 1、3、7、152 2n n -1 1+2+3+4+n= (1) 2 n n 1+3+5+(2n-1)= n n2 2 2+4+6+2n=n(n+1) n(n+1) 12+22+32.+n2=n(n+1)(2n+1) n(n+1)(2n+1) 13+23+33.+n3=n n2 2(n+1）(n+1） 1 6 1 4 数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种： 1.观察法 例 1.观察下列等式：1=1- 2=2- 3=3- 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4=4-猜想第几个等式为 （用含 n 的式子表示） 4
4、5 4 5 分析：将等式竖排： 1=1- 观察相应位置上变化的数字与序列号 1 2 1 2 2=2- 的对应关系（注意分清正整数的奇偶） 2 3 2 3 3=3- 易观察出结果为： 3 4 3 4 2 4=4- n=n- 4 5 4 51 n n1 n n 例 2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，那么 32009的个位数字是 。 分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果 余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：3 2.函数法 例 3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其
5、中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形， 如此继续下去，结果如下表： 所剪次数1234n 正三角形个数471013an 则 an= （用含 n 的代数式表示） 分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数） 正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数 y=kx+b 第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4） （2、7）解之得：y=3x+1 an=3n+1 例 4.有一组数：1、2、5、10、17、26请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8 个数 为 。 分析：对这组数据做求差处理： 原数 1 2 5 10 17 26 第一次求差：1 3 5 7 9 第二
6、次求差：2 2 2 2 第二次求差结果相等，同二次函数 y=ax2+bx+c 代入（1、1） （2、2） （3、5） 解之得 y= x2-2x+2=（x-1）2+1 当=8 时，y=50 尝试练习： 1.观察下列等式：13=12+21；24=22+22；35=32+23请将 你猜想到的规律用含自然数 n(n1)的代数式表示出来： 。 2.观察下列各式：2=+2；3=+3；4=+4；5=+5 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3 5 4 5 4 设 n 为正整数，用关于 n 的等式表示这个规律为 。 3.观察下列各式：=2；=3；=4请你将猜想到的规律用含正整数 1 1 3 1 3 1
7、 2 4 1 4 1 3 5 1 5 n(n1)的代数式表示出来为 。 3 4.已知：2+=22；3+=32；4+=42；5+=52，若 2 3 2 3 3 8 3 8 4 15 4 15 5 24 5 24 10+=102符合前面式子的规律，则 a+b= 。 b a b a 5.已知下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102由此规律可推 出第 n 等 式： 。 6、观察下列算式： ， 请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：. 1、下面有 8 个算式，排成 4 行 2 列 22， 22 3， 3 2 3 2 3 4， 4 3 4 3 4 5
8、， 5 4 5 4 5 ， （1）同一行中两个算式的结果怎样？ （2）算式 2005和 2005的结果相等吗？ 2004 2005 2004 2005 （3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数 n 的代数式表示这一规律。（5 分） 2、你能很快算出吗？（5 分） 2 2 0 0 5 为了解决这个问题，我们考察个位上的数为 5 的正整数的平方，任意一个个位数为 5 的正整数可写成 10n 5（n 为正整数） ，即求的值，试分析，2，3这些简单情形，从中探索其规律。 2 105n1n 通过计算，探索规律: 可写成； 2 1 52 2 5100 11 125 可写成； 2 2 56
9、2 510022125 可写成； 2 35122510033125 可写成； 2 45202510044125 可写成_ 2 7 55 6 2 5 可写成_ 2 8 57 2 2 5 4 根据以上规律，试计算= 2 1 0 5 3（5 分） 已知 ; 322 1 112 4 3322 1 12923 4 （1）猜想填空： （2）计算 23+43+63+983+1003 1、观察等式：1342 2，13593 2 ，1357164 2 ，13579255 2 ， 猜想：（1） 135799 ； (2) 1357（2n-1） _ . （结果用含 n 的式子表示，其中 n =1,2,3,） 。 2、
10、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， ； ； ；第 2003 个数是 。 1 1 2 1 3 1 4 1 二、图形规律探究二、图形规律探究 由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的 代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种 ： 一种是数图形，将图形转化为数字规 律，再用函数法、观察法解决问题 ； 另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决 问题。 拆图法 例 5如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第图用了 4 根火柴，第图用了 7 根火柴棒，第图用了 10 根火柴棒，依次类推，第图用 根火柴棒，
11、摆第 n 个图时，要用 根火柴棒。 分 析 ： 本 例 可 拆 为 即 1+3=4 （根）第拆为 即 1+32=7（根） ；第图可拆为 即 1+33=10(根)由此可知， 第图为 1+310=31（根） ，第 n 个图为：（3n+1）根。 （1）（2） （3） 5 例 6按如下规律摆放三角形：则第堆三角形的个数为 ；第（n）堆三角形的个数为 。 分析 ： 本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出 来，就是 3，5，7这是奇数从小到大的排列，其表达式为：2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个： 第堆有 2 个，第堆有 3 个，第堆有 4
12、个，所以第（n）堆的个数就为（n+1）个。所以第 n 堆三角形的总个 数为：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)个。 尝试练习： 1.如图 7，图 7，图 7，图 7， ，是用围 棋棋子按照某种规律摆成的一行 “广”字，按照这 种规律，第 5 个“广”字中的棋子个数是_，第个“广”字中的棋子个数是_n 2观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角 形中白色三角形有 个 3 图 （3） 是用火柴棍摆成的边长分别是 1， 2， 3 根火柴棍时的正方形 当 边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s （用n的代数式表示s） 4 用同样规格的黑白两种颜色的正
13、方形瓷砖，按下图的方式铺地板， 则第（3 ）个图形中有黑色瓷砖 _块，第个图形中需要黑色n 瓷砖_块（用含的代数式表示） n 5如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的 规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是 n 通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你 的能力，体验成功的快乐！ 三、课外拓展： 1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729那么 32008的个位数字是 。 2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041由此可判断 7100的个位数字是 。
14、 3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，中得到巴尔末公式， 从而打开了光谱奥妙的大 9 5 16 12 25 21 36 32 门，按此规律第七个数据是 。 第1个第2个第3个 n= 1 n= 2 n= 3 （ 1） （ 2） （ 3） 6 4.已知 a1=+=，a2=+=，a3=+=按此规律，则 a99= 。 1 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 4 1 3 3 8 1 3 4 5 1 4 4 15 5.已知=1-，=-，=-，则+ 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 3 4 1 3 1 4 1 1 2 1 2 3 1 3 4 += ；用相同思路探究：+= 。 1 (1)n n 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 (21)(21)nn 6如图 5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个， 则第 4 幅图中有 个，第n幅图中共有 个 7如图，由等圆组成的一组图中，第 1 个图由 1 个圆组成， 第 2 个图由 7 个圆组成，第 3 个图由 19 个圆组成， ，按照这样 的规律排列下去，则第 9 个图形由_个圆组成 8将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放 ： 第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10 个小圆，第 3 个图 形有 16 个小圆，第 4 个图形
