434编号初中数学规律探究题

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1、- 1 - 归纳猜想型问题归纳猜想型问题 考点一：猜想数式规律考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式 的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置 的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，根据你发现的规律，第 8 个式子是 ； 第 n 个数据应为 。 2.（南平）给定一列按规律排列的数： ，则这列数的第 6 个数是( ) 1 234 , 2 5 10 17 A B C D 6 37 6 35 5 31 7 3

2、9 3 （黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，则 1+3+5+2015 的值 是 4 （沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212请观察它们的构 成规律，用你发现的规律写出第 8 个等式为 5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a11，a2，a3，a4，试猜 1 3 11 24 11 35 11 46 想第 n 个等式（n 为正整数）：an= 6.（南宁）有这样一组数据 a1，a2，a3，an，满足以下规律：a1，a2，a3， 1 2 1 1 1a 2 1 1 a a

3、n（n2 且 n 为正整数） ，则 a2016的值为 （结果用数字表示） 1 1 1 n a 7. （广安）已知直线 y=（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 (1)1 22 n x nn S1+S2+S3+S2016= 8.（大庆）已知 ， 111 (1) 1 323 11 11 () 3 52 35 11 11 () 5 72 57 依据上述规律，计算 +的结果为 。 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 2015 2017 9将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第 5 行从左到右的第 3 个数为 ；第 n 行

4、（n3）从左到右的第 3 个数为 （用含 n 的代数式表示） 10请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 1 11 121 1331 14641 1 222 33223 4432234 () ()2 ()33 ()464 abab abaabb abaa babb abaa ba babb 根据前面各式的规律，则 6 ()_.ab - 2 - 考点二：猜想图形规律考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数 字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照， 仿照猜想数式规律的方法得到最

5、终结论。 1 （牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第 n 个图案中共有 小三角形的个数是 2 （娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第 n 个图形需 根火柴棒 3 （江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有点的个数为 _（用含 n 的代数式表示） 4 （呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第 1 个图案需 7 根火柴， 第 2 个图案需 13 根火柴，依此规律，第 11 个图案需_根火柴 5 （遂宁）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律， 摆第（n）

6、图，需用火柴棒的根数为 6 （深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第 1 幅图中有 1 个正方形 ； 第 2 幅图中有 5 个正方 形；按这样的规律下去，第 6 幅图中有 个正方形 - 3 - 7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5 个图形中所有正三角形的个数为_ 8. 如图是一组有规律的图案，图案 1 是由 4 个组成的，图案 2 是由 7 个组成的，那么图案 3 是由个组成的，依此，第 n 个图案是由个组成的 9(2015重庆(B)，8，3 分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图 1 中有 2 个黑 色正方形，图 2 中有 5 个黑色正方形，图

7、 3 中有 8 个黑色正方形，图 4 中有 11 个黑色正方形， 依此规律，图 11 中黑色正方形的个数是( ) A32 B29 C28 D26 10(2015重庆(A)，8，3 分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 1 个图形 中一共有 6 个小圆圈，第 2 个图形中一共有 9 个小圆圈，第 3 个图形中一共有 12 个小圆圈，按 此规律排列，则第 7 个图形中小圆圈的个数为( ) A21 B24 C27 D30 11. 将图 1 的正方形作如下操作：第 1 次分别连接对边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次将图 2 左 上角正方形按上述方法再分割如图 3，得

8、到 9 个正方形，以此类推，第 n 次操作后，得到正方形 的个数是 12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有 4 个三角形，第（2）个图案有 7 个三角形，第（3）个图案有 10 个三角形，依此规律，第 n 个图案 有 个三角形（用含 n 的代数式表示） - 4 - 13平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中 国结”的图案，按图中规律，第 20 个图案中，小菱形的个数是_个 第1个第2个 第3个 第4个 14. 将一个面积为 1 的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图 1)后，继续挖去连结

9、剩余各 个三角形三边中点所成的三角形(如图 2、图 3)如此进行挖下去，第 4 个图中，剩余图形的面积 为_，那么第 n(n 为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为_(用含 n 的代数 式表示) 考点三考点三:几何图形计算变化规律几何图形计算变化规律 随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有 一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变， 乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。 1. （张家界）如图，OP=1，过 P 作 PP1OP，得 OP1=；再过

10、 P1作 P1P2OP1且 P1P2=1，得2 OP2=； 又 过 P2作 P2P3OP2且 P2P3=1 ， 得 OP3=2 ； 依 此 法 继 续 作 下 去 ， 得3 OP2016= 2 （黑龙江）已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1为边作等边三角形，得到第一个等 边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1的 B1C1边上的高 AB2为边作等边三角形，得到第二个等边 三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2的边 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；，如此下去，这样得到的第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 3

11、（牡丹江）如图，边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB=60连结对角线 AC，以 AC 为边作第二个菱形 ACEF，使FAC=60连结 AE，再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使HAE=60按此规律所作的 第 n 个菱形的边长是 - 5 - 4 （六盘水）把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 m 上，OA 边在直线 m 上，然后将正方形纸片 绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90，此时，点 O 运动到了点 O1处（即点 B 处） ，点 C 运动到了点 C1 处，点 B 运动到了点 B1处，又将正方形纸片 AO1C1B1绕 B1点，按顺时针方向旋转 90，按上述方 法经过 4 次

12、旋转后，顶点 O 经过的总路程为 ，经过 61 次旋转后，顶点 O 经过的总 路程为 5. 如图，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)均在反比例函数（x0）的图象上，若 1 y x P1OA1， P2A1A2， P3A2A3， PnAn1An都是等腰直角三角形， 斜边 OA1， A1A2， A2A3， An1An 都在 x 轴上（n 是大于或等于 2 的正整数） ，则点 P3的坐标是_，点 Pn的坐标是 _ （用含 n 的代数式表示） P3 P2 P1 Ox y A3A2A1 6. 二次函数的图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1，A2，A3An在 y 轴的正半轴上

13、，点 B1， 2 2 3 yx B2，B3Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2，C3Cn在二次函数位于第二象限的图象 上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3四边形 An-1BnAnCn都是菱形， A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=60，菱形 An-1BnAnCn的周长为 C1 C2 C3 (A0) A2 A3 B3 B2 B1 A1 O y x 7(2015浙江湖州，16，4 分)已知正方形 ABC1D1的边长为 1，延长 C1D1到 A1，以 A1C1为边向右作正 - 6 - 方形 A1C1C2D2，延长 C2

14、D2到 A2，以 A2C2为边向右作正方形 A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推， 若 A1C12，过点 A，D2，D3，D10都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10的边长是_ D10 C10 A9 C9 D4 C4 A3 C3 D3 D2 C2 A2 A1 C1B D1 A 8. 如图，将正ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个 边长为 1 的小正三角形，若 ，则正ABC 的边长是_ m n 47 25 9. 设ABC 的面积为 1，如图 1 将边 BC，AC 分别 2 等分，BE1，AD1相交于点 O，AOB 的面积记 为 S

15、1； 如图 2 将边 BC，AC 分别 3 等分，BE1，AD1相交于点 O，AOB 的面积记为 S2；，依 此类推，则 Sn可表示为_（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 图2图1 O E2 D2 E1 D1 O E1 D1CB A CB A D3 图3 E3 E2 O D2D1 E1 CB A 考点四：坐标系和表格中的规律考点四：坐标系和表格中的规律 1 （聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点 A1（0，1） ，A2（1，1） ，A3（1，0） ，A4（2，0） ，那么点 A4n+1 （n 为自然数）的坐标为_（用 n 表示