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1、初中几何最值问题 例题精讲 一、三点共线 1、构造三角形 【例1】在锐角 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1点ABC E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的 对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值 P1 C1 A1 P E CB A 【巩固】以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB 和COD，其中ABO= DCO=30如图，若 BO=3 3，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2点 P 是线段 AB 上的一个动点， 在将AOB 绕
2、点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为_，最大值为_ O P N D C B A O C D N 备用图 【例2】如图， ，矩形 ABCD 的顶点 AB 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A90MON 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_ 【巩固】已知：AOB中，2ABOB，COD中，3CDOC,ABODCO.连接AD、 BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线 上，且 2ABO，固定AOB，将COD绕点O旋转，则PM的最大值为_ P N
3、M D C BA O 【巩固】在平面直角坐标系 xOy 中，点、分别在轴、轴的正半轴上，点为线段的中点点AB xy MAB 、分别在轴、轴的负半轴上，且以为边在第三象限内作正方形DE xy 10DEABDE ，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式DGFE MGMG G F E D x y O A B M 图 2 【例3】如图，已知 ，为反比例函数图像上的两点，动点在正半轴上运 1 1 ( ,) 2 Ay 2 (2,)By 1 y x ( ,0)P xx 动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是_APBPP 2、轴对称 【例1】求 的最小值 2 2 341xx 【例2
4、】 是半径为 5 的的两条弦，为直径，于点,ABCDO8AB 6CD MNABMNE 于点，为上任意一点，则的最小值为_CDMNFPEF+PA PC PO NM FE D C B A 【巩固】设半径为 1 的半圆的圆心为，直径为,是半圆上两点，若弧的度数为 96，弧OABCD、ACBD 的度数为 36，动点在直径上，则的最小值是_PAB+CP PD 【巩固】设正三角形的边长是 2，是边上的中点，是边上任意一点，则的最ABCMABPBC+PA PM 大值为_,最小值为_ y xO A B P 【例3】如图，已知等边ABC 的边长为 1，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 边上的点（均不与点 A
5、、B、C 重 合） ，记DEF 的周长为. 若 D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、AC 边上任意点，则的取值范围 pp 是 . F E D CB A 【例4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线的顶点 （1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标； （2）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标 图 1 【例5】如图，直线 分别交 x 轴、y 轴于 C、A 两点，将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45得到射 3 2 3 yx 线 AN，D 为 AM 上的动点，B 为 A
6、N 上的动点，点 C 在MAN 的内部 （1）当 AMx 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求的面积；BCD （2）求BCD 周长的最小值； （3）当BCD 的周长取得最小值，且时，求的面积 5 2 3 BD BCD A x y 1 O D 2 1 2 M N B 34 C A x y 1 O 2 1 2 34 C 备用图 A x y 1 O 2 1 2 34 C 备用图 【例6】在直角坐标系中， ，为四边形的 4 个顶点，当四边形1, 2A 4, 1B,0C m,D n n 的周长最短时，_ABCD m n O y x A B C D 【巩固】如图 1，抛物线 yax2bxc（a0）的顶点为
7、 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D， 其中点 B 的坐标为（3，0）。 （1）求抛物线的解析式； （2） 如图 2， 过点 A 的直线与抛物线交于点 E， 交 y 轴于点 F， 其中点 E 的横坐标为 2， 若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点 G 为直线 PQ 上的一动点，则 x 轴上师范存在一点 H，使 D、G、H、F 四 点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标；若不存在，请说明理 由。 图 13 AB x y O D C 图 2 AB x y O D C P Q E F AB x y O D C 【例7】已知，如图 1，二次函数
8、的图像的顶点为，与轴交于两点（在 2 230yaxaxa aH xAB、 B 的右侧），点关于直线 ：对称A HB、l 3 3 3 yx （1）求两点的坐标，并证明点在直线 上； AB、 Al （2）求二次函数的解析式； （3）过点作交直线 于点，分别为直线和直线 上的两个动点，连结BBKAHlK MN、 AHl 求的最小值 HNNMMK、HNNMMK 图 1 y x l H K B OA 【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、 2 3 2 yxbxc x AB （3,0）两点, 顶点为.C (1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于 x 轴的对
9、称点，过点作直线 ：交 BD 于点 E，过点 作直线DCAl 33 33 yxB 交直线 于点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P，使得它到四边形 ABKD 四BKADlK 边的距离都相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线 上的两个动点，连结、，MNADlDNNMMK 求和的最小值.DNNMMK 【例8】在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在轴、OACB x 轴的正半轴上，D 为边 OB 的中点. y 3OA 4OB （）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；EOACDEE
10、（）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.EFOA2EF CDEFEF 【巩固】已知点 A（3，4） ，点 B 的坐标为（图1，1）时，在 x 轴上另取两点 E，F，且 EF=1线段 EF 在 x 轴上平移，线段 EF 平移至何处时，四边形 ABEF 的周长最小？求出此时点 E 的坐标 y B O D C AxE D y B O D C Ax 温馨提示：温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴的对称点 ，连接 与 轴交 D CD x 于点 E，此时 的周长是最小的.这 CDE 样， 你只需求出 的长， 就可以确定点 OEE 的坐标了. 【例9】已知直线 与轴交于点 A
11、，与轴交于点 D，抛物线与直线交于 A、E 1 1 2 yx yx 2 1 2 yxbxc 两点，与轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0). x （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使的值最大，求出点 M 的坐标。|AMMC 【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，将 3 6 4 yx OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C. （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T，Q 为线段
12、BT 上一点，直接写出的取值QAQO 范围. 3、旋转 【例1】如图，已知在ABC 中，BC=a，AC=b，以 AB 为边作等边三角形 ABD.当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数. 【例2】如图， 在平面直角坐标系 中， 点的坐标为， 点在轴的正半轴上， xOy B (0,2) D x 30ODBOE 为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的BODBE 2 3 6 yaxxc x AFAF 左侧） （1）求抛物线的解析式； （2）点为三角形内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取PABOmPAPBPO mm 得最小
13、值时，线段的长.AP E O GFA y xD B 【巩固】已知矩形，在矩形内有一点，在边上有一点,分别确定点ABCD=10AD=6ABABCDPBCHP 和的位置，使得最小HAPDPPH H P D CB A AB C D 【巩固】直角梯形中，在梯形内求作一点使于且ABCD90BC OOQBCQ+O +OAD OQ 的值最小 Q O D CB A 二、垂线段最短 【例1】已知,是线段上任意一点，在的同侧分别以和为边作两个等边三角形 10AB PABABAPBP 和，则线段长度的最小值是_ APC BPD CD P D C BA 【例2】如图，在锐角 中，ABC 4 245ABBAC， BAC
14、 的平分线交于点分别是和上的动点，BCD MN， 、ADAB 则的最小值是_ BMMN 【巩固】 矩形中，.在、上各取一点、， 使的值最小，ABCD20AB 10BC ACABMN+BM MN 求这个最小值 A B C D N M N M D C B A 【例3】如图，在 ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与 CB、CA 分别相 交于点 E、F，则线段EF长度的最小值是_ F E C B A 【例4】已知在 的边上取一点，设和的外接圆的圆心分别是和，求：使两圆ABCBCDABDACDO O 半径为最小值时点的位置D D O O CB A 【巩固】点在的边上
15、，分别作和的外接圆。问当点在什么位置时，两外接圆MABCACABMCBMM 公共部分的面积最小？ M O O C B A 【例5】在已知 内，作内接矩形，使一边在最大边上，另外两个顶点、分别在边ABCDEMNDEBCMN ，上。试确定矩形的位置，使对角线长最短.ACABDEMNDM N M ED CB A 【巩固】点在锐角的边上运动，试确定点的位置，使最小，并证明你的结论.PABCP+PA PB PC 【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A B、两点，D为抛物线的顶点，O为 坐标原点若OAOB OAOB、 （）的长分别是方程 2 430 xx 的两根，且45DAB （1
16、）求抛物线对应的二次函数解析式； （2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标； （3） 在 （2） 的条件下， 过点A任作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为 12 dd、， 试求 12 dd+的最大值 y c C c l x c B c P c D c O 【例7】在直角坐标系中，点 A 坐标为（-3，-2），圆 A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点，PQ 切圆 A 于点 Q，则当 PQ 最小时，P 点的坐标为_ 【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰三角形（为底边） ，顶点的坐标是，OABOBA24（，） 点在轴上，点的坐标是，轴于点，点是的中点，点是直线上的一动点B xQ 60，ADxDCADPBC （1）求点的坐标C （2）以点为圆心、为半径作
