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1、初中函数知识 1 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+， -） 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0） 。 4、点的对称特征：已知点 P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标
2、相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点 P（x,y）的几何意义： 点 P（x,y）到 x 轴的距离为 |y|，点 P（x,y）到 y 轴的距离为 |x|。 点 P（x,y）到坐标原点的距离为 22 yx 8、两点之间的距离： X 轴上两点为 A、B |AB|A、B |AB|) 0 , (
3、 1 x) 0 , ( 2 x| 12 xx Y 轴上两点为 C、D |CD|C、D |CD| ), 0( 1 y), 0( 2 y| 12 yy 已知 A、B AB|= AB|=),( 11 yx),( 22 yx 2 12 2 12 )()(yyxx 初中函数知识 2 9、中点坐标公式：已知 A、B M 为 AB 的中点,则：M=( , ),( 11 yx),( 22 yx 2 12 xx 2 12 yy 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点（x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y） ； 将点（x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，
4、y） ； 将点（x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb） ； 将点（x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb） 。 函数的基本知识函数的基本知识： 基本概念基本概念 1、变量：1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的 值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。 *判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A 是否有唯一确定
5、的值与之对应 3、确定函数定义域的方法：3、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 4、函数的图像4、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 5.函数解析式：5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数
6、图形的一般步骤6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值） ； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点） ； 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 。 7、函数的表示方法:7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法 初中函数知识 3 一次函数图象和性质一次函数图象和性质 【知识梳理】 一、一次函数的基础知识一、一次函数的基础知识 1、定义1、定义：一般地，形如 y=kxb(k,b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时，y=kxb
7、 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2、解析式2、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k0) 3、图像：3、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直 k b 线 y=kx+b, 4、增减性（单调性）4、增减性（单调性）： k0，y 随 x 的增大而增大（单调增）（单调增） ；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时直线与 y 轴交于原点上方（即 y 轴的正半轴） ； 当 b0b0 增减性（单调性）：增减性（单
8、调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增 经过第一、二、四象限 不经过：第三象限 经过第二、三、四象限 不经过：第一象限 经过第二、四象限 不经过：第一、三象限 k0，y 随 x 的增大而减小（单调减）（单调减） ；k0，y 随 x 增大而增大（单调增）（单调增） 4、反比例函数的图象：双曲线4、反比例函数的图象：双曲线 （1）（1）图像的画法画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） （ ）对称性： 是中心对称图形，对称中心是原点 是轴对称图形，对称轴是直线和 2 1 2 ( ) (
9、 )yxyx （3）（3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不 x k y k0k0 x0y 经过原点，断开的两个分支（称为左、右支） ，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 （ ） 时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 随 的增大而减小 时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 随 的增大而增大 3 0 0 kyx kyx （4）（4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数 y (k0)中比例系数 k 的k k x 几何意义，即过双曲线 y (k0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分 k x 别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积
10、)为 .k （由 y变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。 ） k x 5、反比例函数性质如下表：5、反比例函数性质如下表： k 的符号k0k0 图像的大致位置 o y x y xo 初中函数知识 6 二次函数图象和性质二次函数图象和性质 【知识梳理】 一、二次函数的基础知识：一、二次函数的基础知识： 1定义定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 2 yaxbxcabc， ，0a 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零0a bc， 二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R 2. 解析式（表达式）解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：
11、2 yaxbxc0a abc， ， 说明： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc， ，abc 22 22 44 ,- 2424 bacbbacb yaxbxc aaaa 对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，） 补充：补充：二次函数解析式的表示方法（三种） 一般式：（，为常数，） ； 2 yaxbxcabc0a 顶点式：（，为常数，） ；抛物线的顶点 P（h，k） 2 ()ya xhkahk0a 22 22 44 ,- 2424 bacbbacb yaxbxc aaaa 对于二次函数，经过
12、配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，） 两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 12 ()()ya xxxx0a 1 x 2 xx 仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即0 其中 (即一元二次方程求根公式) 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系: 222 12 444 h=-, 2422 bacbbbacbbac xx aaaa k= 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以
13、用交点式表示二次函数解析式x 2 40bac 的这三种形式可以互化. 经过象限第 象限第 象限 增减性（单调性：单 调区间内讨论） 增减性（单调性：单 调区间内讨论） 在每一象限内，从左到右看，y 随 x 的增大而减小 ； （-，0）U（0，+）区间内， 单调减 在每一象限内,从左到右看 y 随 x 的增大而增大 （-，0）U（0，+）区间内， 单调增 图像的对称性图像的对称性中心称图形，对称中心是原点； 同时，也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线 y=-x 初中函数知识 7 二次函数与的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
14、到前 2 ya xhk 2 yaxbxc 者，即，其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa ， 3、二次函数解析式的确定：、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根 据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 4、二次函数图象的画法、二次
15、函数图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法：五点绘图法： 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及 2 yaxbxc 2 ()ya xhk 顶点坐标; 然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点y 、 以及关于对称轴对称的点、 与轴的交点，（若与轴没有0c，0c，2hc，x 1 0 x ， 2 0 x ，x 交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy 3、二次函数的图像：抛物线、二次函数的图像：抛物线 （1）对称性）对称性：抛物线是轴对称图形。对称
16、轴：直线对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛 2 x b a 对称轴：直线 =- 物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0） （2）抛物线有一个顶点 P， 2 4 - 24 bacb aa 坐标为P（，） 当=0 时，P 在 y 轴上；当= =0 时，P 在 x 轴上。- 2 b a 2 4bac 4、a.b.c 与抛物线的关系（与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）abc （1）a 决定抛物线的开口方向和大小： 开口方向：a 为正(a0)，开口朝上，有最小值； a 为负(a0)，开口朝下，有最大值； 开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （2）a、b 共同决定x 2 b a 对称轴：直线 =- 的符号决定对称轴的位置，分两种情况：ab a b x 2 y=5x2 y=x2 x y 初中函数知
