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1、,常微分方程的数值解法简介,常微分方程的数值解法,内容 初值问题 边值问题 刚性问题,初值问题的数值解法,对于一个常微分方程:,通常会有无穷个解。如:,因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题:,为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在f上,要求f对y满足Lipschitz条件:,初值问题的数值解法,常微分方程的解是一个函数,但是,计算机没有办法对函数进行运算。因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节点的近似值。,例:我们对区间做等距分割:,设解函数在节点的近似为,由数值微分公式,我们有,,则:,向前差商公式,可以看到,给出初值,就可以用上式求出
2、所有的,初值问题的数值解法,基本步骤如下:, 解差分方程,求出格点函数,数值方法,主要研究步骤,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质。,这种方法 ,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数y在这些 点上的值的近似。,我们的目的,就是求这个格点函数,初值问题的数值解法,为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论:, 步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题, 误差估计, 产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题,初值问题的数值解法,1 Euler公式,做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。,1.1
3、向前差商公式,所以,可以构造差分方程,称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播,积累。因此还要估计这种积累,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,1.2 向后差商公式,是隐格式,要迭代求解,可以由向前差商公式求出,初值问题的数值解法,1.3 梯形法基于数值积分的公式,对微分方程,做积分,则:,初值问题的数值解法,类似,可以算出其误差估计式:,2阶的方法,所以,有格式为:,是个隐式的方法,要用迭代法求解,局部截断误差,初值问题的数值解法,2 RungeKutta法,一般的RungeKutta法构造,常见的为3阶,4阶公式,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,3 线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xn+1)。,其通式可写为:,当 10 时,为隐式公式; 1=0 则为显式公式。,初值问题的数值解法,写成向量的形式:,4 微分方程组,初值问题的数值解法,各种方法都可以直接运用过来。,Euler公式,以两个方程的方程组为例,初值问题的数值解法,Runge-Kutta公式,初值问题的数值解法,初值问题的数值解法,5. 高阶方程,初值问题的数值解法,则有:,令,边值问题的数值解法,参见:Word文档。,刚性问题的数值解法,刚性问题,参考文献: 李庆扬 关治 白峰杉 编著 数值计算原理。,