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1、,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第十节,函数的连续性与间断点,第一章,一、 函数连续性的定义,1.变量的增量,设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初,值的差 就叫做变量u的增量 记作,即,注：,不表示某个变量 与u的乘积，而是一个,整体不可分割的记号.,设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的,当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应,地从 变到 ,因此函数 y 的对应增量为,其几何意义如右图所示：,可见 , 函数,在点,定义:,在,的某一邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,
2、存在 ;,前提条件,左连续与右连续,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,如果,存在且等于 即,如果,存在且等于 即,左连续:,右连续:,例 1,解,右连续但不左连续 ,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例 2,解因为,所以 f (x) 在 x = 0 处连续.,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区,间上连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,在闭区间,上的连续函数的集合记作,如果函数在开区间 内连续,并且在左端点,处右连续,在右端点 处左连续,则称函数,在闭区间 上连续.,例3. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连
3、续 .,导致函数图象断开的原因？,1、,、,(1)在x=1处有定义,(3)函数 f (x)的极限不存在。,、,(1)在x=1处有定义；,(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1),导致函数图象断开的原因：,1、函数在 处没有定义,2、函数在 时极限不存在,函数值不等,3、函数在 处的极限值和,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为不连续点或间断点 .,在
4、,无定义 ;,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,例4 讨论函数,的间断点.,因此 x = 0 是该函数的可去间断点.,解,即该函数在 x = 0 处的左、,但是由于,1,右极限存在，,因为，如果修改定义 f (0) = 1，,在 x = 0 连续.,则函数,1,内容小结,左连续,右连续,第
5、一类间断点,可去间断点:,跳跃间断点: 左右极限不相等,第二类间断点,无穷间断点:,振荡间断点: 函数值在 的去心邻域,(左右极限至少有一个不存在),在点,间断的类型,(左右极限都存在),内变动无限多次,左右极限相等,但不等于,函数值或无定义,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,在,x = 0 连续.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,作业 P49 2(1)(2)(4); 3 ; 4(2),第九节,求函数 的间断点，并指出间断点的类型。,解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为,所以 为间断点。,而,所以 为第二类无穷间断点。,所以 为第一类可去间断点。,思考题,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,1. P49 题 5,2. 确定函数,分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。,求函数 的所有间断点，并指出类型。,当 时，,当 时，,当 时，,解:,故 是 的跳跃间断点;,故 也是 的跳跃间断点;,因为,因为,所以,
