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1、一、空间点投影规律,一、点的三面投影 过空间点A分别向三个投影面（H面、V面、W面）作垂线，其垂足a、a、a，即得点A在三个投影面上的投影。按上节课三投影面体系的展开方法将三个投影面展开，去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图。图中ax、ay、az分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的垂足。,二、点的三面投影规律 从图中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律： （1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即aaOX。 （2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。 （3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aaxaaz. 根据上述点的三
2、面投影规律，在点的三面投影中，只要知道点的任意两面的投影，就可求作出该点的第三面投影。 此外，从图上我们还可以看出：投影到投影轴的距离分别等于空间点到相应投影面的距离。,三、点的三面投影与直角坐标关系 在图1-14中，如果将投影体系看作坐标体系，这样的直角三投影面体系便成为一个空 间直角坐标系。空间点A到三个投影面的距离便可分别用它的直角坐标x、y、z表示。 点A的x坐标：表示点A到W面的距离AaaazaaYH 点A的y坐标：表示点A到V面的距离Aaaaza ax 点A的z坐标：表示点A到H面的距离AaaaxaaYW,点的空间位置可由点的坐标（x，y，z）确定。如图所示，点A三面投影的坐标分别
3、为（，）、（，）、（，）。任一面投影都反映点的两个坐标，所以一个点的两面投影就反映了确定该点空间位置的三个坐标，即确定了点的空间位置。,（）直接从两点的投影确定： 从正面投影或侧面投影可确定两点的上、下位置，如图的正面投影中，在上方，可知点A在点B之上。同理，从正面投影或水平投影可确定两点的左、右位置；从水平投影或侧面投影可确定两点的前、后位置。,四、两点相对位置的确定 空间两点的相对位置可用两种方式确定。,（）从两点的坐标差判断： 从两点的坐标差，可判断两点的上、下位置，图中，AB0，说明点A在点B之上。同理，从两点的坐标差，可判断两点的左、右位置；从两点的坐标差，可判两点的前、后位置。,二
4、、直线的投影,一、直线的三面投影形成 空间两点确定一条直线。因此，求直线的投影实质上仍是求点的投影。,二、各类直线的投影特征,投影面平行线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,统称特殊位置直线,投影面垂直线,投影面倾斜线,一般位置直线, 投影面平行线,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,实长,实长,1.两面投影是直线等坐标的对应投影轴的垂直线,2.另一面投影反映直线段实长及直线与不平行投影面的夹角,反映线段实长。且平行 于相应的投影轴。,铅垂线,正垂线
5、,侧垂线,2、另外两个投影，,1、在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:, 投影面垂直线,投影特性：,1.三面投影都倾斜于投影轴, 投影面倾斜线,2.三面投影都缩短,三、直线上的点 （1）直线上点的投影特征： a)点与直线的从属关系投影后不变。即直线上的点的投影必在直线的投影上。 b)线段上的点分割线段，所成两段的比值，投影后保持不变，称为简比定理（或称为定比分点定律）。,四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况： (1)平行 a）空间互相平行的两直线，其各组同面投影必互相平行。 b）若空间两直线的三组同面投影分别互相平行，则空间两直线必互相平行。 c）一般情况下，只需判
6、断两直线的任意两组同面投影是否分别平行即可 特殊情况是：若直线为投影面平行线时，仅已知两面内的投影平行，空间是否平行还不一定，还需检查第三面的投影是否平行。,(2)相交 a）空间相交的两直线，在各投影面内的投影均相交，且交点符合点的投影规律。 b）一般情况下，两个投影面内的投影相交，且交点符合点的投影规律，则可判定空间二直线相交。 特殊情况是：当两条直线中有一条直线为投影面平行线时，要判断它们是否相交，则取决于直线投影的交点是否是同一点的投影。,（3）交叉 a）交叉两直线在三个投影面内的投影，可能均相交，但交点不符合点的投影规律。 b）只要两投影面内的投影相交，但交点不符合点的投影规律，则可判
7、定空间二直线交叉。,三、平面的投影,一、平面的几何表示法 从几何学可知，不在同一条直线上的三点确定一平面。这一基本情况可转化为：一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意的平面图形。平面的投影也可以用这些几何元素的投影来表示，如图所示：,不在同一直线 上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,二、各类平面的投影特征,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,投影面倾斜面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。
8、,另两面投影积聚为平面等坐标对应投影轴的垂直线。,（1） 投影面平行面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,（2） 投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,两面投影是平面缩小的类似形 另一面投影积聚为倾斜于投影轴的直线，该直线与两投影轴的夹角反映平面与其倾斜投影面的夹角,(3) 投影面倾斜面,三面投影都为缩小的类似形，其三面投影都不反映平面的、 角。,投影特性：,四、平面内定点的作图,一、平面的迹线表示法,平面延伸后与投影面的交线称为平面的迹线，平面P延伸后与V、H、W面的交线分别称为平面的正面迹线、水平迹线、侧面迹线，并平面名称（大写字母）加对应投影面字母为下角标表示，如平
9、面P的三条迹线就表示为PV、PH、PW表示，用平面的三迹线PV、PH、PW的投影来表示平面的空间位置，平面的这种表示法称为平面的迹线表示法。,在工程上对已指明的特殊位置平面常用与积聚性投影重合的迹线投影来表示（如图）,二、平面内的直线和点 （1） 平面内取直线 直线位于平面内的几何条件是：直线通过一平面内的两个点或通过平面内的一个点，且平行于平面内的某条直线。,（2） 平面内取点 点位于平面内的几何条件是：若点在平面内的任一直线上，则点在此平面内。因此在平面内取点应先在平面内取一直线，然后再在该直线上取符合要求的点。,具体方法可以参照讲义,五、回转面的投影,一、回转面的形成,1.母线（直线或曲
10、线）绕一固定直线回转所形成的曲面称为回转面。,2.工程上常见的回转面 工程上常见的回转面有圆柱面、圆锥面、圆球面、圆环面及组合型回转面，它们的形成如图所示。 注意：圆球面与圆环面形成的区别，母线圆心位于回转轴上形成圆球面；母线圆心不在回转轴上，形成的是圆环面,二、回转面的投影 1.回转面转向线的概念 回转面转向线是将回转面向投影面投射时，切于回转面的诸投射线构成的面与回转面的切线（图a中的L线）。回转面转向线在该方向的投影表达了回转面在该方向的投影范围（图a）。,显然投射方向不同，回转面转向线在回转面上的位置不同,回转面向W面投射时具有的转向线称为回转面的W面转向线,回转面向V面投射时具有的转
11、向线称为回转面的V面转向线（图a中的L线）,回转面向H面投射时具有的转向线称为回转面的H面转向线（图b中的M线）,2.回转面的投影,画回转面的投影主要是画回转面转向线的投影。,画回转面的V面投影就是画该回转面V面转向线的V面投影；画回转面的H面投影就是画该回转面H面转向线的H面投影。,由于回转面是母线绕回转轴旋转形成的曲面，因此，它的回转轴线也是它的对称轴线。画回转面的投影时，应使回转面的轴线垂直于某一投影面。,（2）画回转面V面转向线（平行于V面的两素线）的V面投影（图c）。 （3）画回转面H面转向线喉圆(点B形成)、赤道圆（点C形成）的H面投影（图d）。 （4）画母线上最高点A、最低点D形
12、成两圆（顶圆、底圆）的两面投影（图d）。 注意：在H面投影中，底圆不可见，应画成细虚线。,下面以右图所示回转面为例，讨论回转面的投影作图：,（1）用细点画线画出轴线的投影：当轴线的投影积聚为一个点时，应用垂直相交的两条细点画线的交点表示轴线积聚为点的位置，这两条垂直相交的细点画线也是回转面对称面投影的积聚（图b）。,三、回转面上取点、取线作图 在回转面上取点、取线的作图与在平面上取点、取线作图方法类似：先判断点所位于的回转面投影有无积聚性，有积聚性则利用积聚性直接作图，没有积聚性则必须定点先定线（即定点需先作辅助线）。 不同的是（1）在回转面上定点的辅助线只能用素线或纬圆； （2）回转面上的点投影存在遮挡，因此求完点投影后还需判断点投影的可见性。,
