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1、2020/8/27,1,投影变换,概 述,问题的提出,2020/8/27,2,X,O,X,O,X,O,X,O,2020/8/27,3,换面法 旋转法,投影变换,投影变换就是将空间几何元素从不利于解题的一般位置变换为和投影面平行或垂直的特殊位置,以利于解题,这种方法称为投影变换。,2020/8/27,4,更换投影面法 换面法,新投影面的建立 能解决的四个基本问题 综合问题的解答,换面法保持空间几何元素的位置不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使新投影面对空间几何元素变成有利解题的特殊位置，然后再求其在新投影面上的投影的方法。,2020/8/27,5,新投影面的建立,新的投影面V1,不变的投影面H
2、,建立新投影面的原则？,1、新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置； 2、新投影面必须垂直于原有的一个投影面。,V/H 体系变为V1/H 体系,新投影面的选择原则：,2020/8/27,6,1.点的一次变换,一、点的投影变换,点的投影变换规律： 1、 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；,2、 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离，也即等于空间点到不变投影面的距离。,o,2020/8/27,7,点在V/H1体系中的投影,O1,O,o,2020/8/27,8, 点的两次变换,O,O1,O2,o1,o,2020/8/27,9,、 把一般位置直线变换为投影面平行
3、线,a1,b1,反映AB的实长,例1 求直线AB实长及其对H面的倾角a。,二、直线的投影变换,作图要点：、确定新轴位置（根据空间关系、投影特点及所求目标确定）；、熟练运用点的投影变换规律。,o,2020/8/27,10,a1,b1,例2 求直线AB实长及其对面的倾角。,o,2020/8/27,11,2、把投影面平行线变为投影面垂直线,b,b,o,2020/8/27,12,、把一般位置直线变为投影面垂直线,2020/8/27,13,、把一般位置直线变为投影面垂直线,o,2020/8/27,14,、把一般位置平面变为投影面垂直面,c,例3 将一般位置平面ABC变换为投影面的垂直面，并求其正面倾角
4、。,作图要点： 新投影轴垂直于平面内的正平线。,三、平面的投影变换,例4将一般位置平面ABC变换为投影面的垂直面，并求其水平倾角。,X,O,X1,O1,a,a1,H,V1,V,H,a,b,b,(b1),c1,c,c,作图要点： 新投影轴垂直于平面内的水平线。,2020/8/27,16,、 把投影面垂直面变为投影面平行面,2020/8/27,17,作图要点： 新投影轴平行于平面的积聚性投影线。,例5 求铅垂面ABC的实形。,o,2020/8/27,18,、把一般位置平面变为投影面平行面,实形,o,o1,2020/8/27,19,换面法的四个基本问题: 、把一般位置直线变换为投影面平行线（一次）
5、2、把投影面平行线变为投影面垂直线（一次） 、把一般位置平面变为投影面垂直面（一次） 、把投影面垂直面变为投影面平行面 （一次）,基于以上四个基本问题可以解决以下两个问题:、把一般位置直线变为投影面垂直线（两次） 、把一般位置平面变为投影面平行面（两次）,2020/8/27,20,解题思路 从要求的结果出发确定要变换的目标 根据投影特点及换面规律设计换面过程,换面法的应用举例,2020/8/27,21,例6 求点C到直线AB的距离。,四、换面法的应用举例,o,2020/8/27,22,分析,2020/8/27,23,作图,距离实长,强调作图结果： 求距离实长投影,距离投影,距离投影,o,o1,
6、例7 求点M到平面ABC的距离MN。,X,O,a,V,H,b,b,c,c,m,m,a,距离,四、换面法的应用举例,作图结果： 距离实长投影,2020/8/27,25,b,例8 求两直线AB与CD的公垂线 。,o,例9 求平行线AB、CD间的距离。,X,O,V,H,a2（b2）,（d2）c2,四、换面法的应用举例,X,O,a,V,H,b,b,c,c,m,a,建议： 把已知投影的投影面作为不变投影面。,例10已知点M到平面ABC的距离为30，求m。,四、换面法的应用举例,解题思路: 从要求的结果出发确定要变换的目标。,2020/8/27,28,例11 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。,X,O,例12 已知平行直线AB、CD之间的距离为15， 求cd。,a1,d,c,d1,c1,b1( a1),b1,15,d1(c1),X,O,V,H,2020/8/27,30,例13已知E点在平面ABC上，距 离A、B均为15，求点E的投影。,O,o1,2020/8/27,31,小结本讲基本要求,重点：换面法的原理及作图方法。,
