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1、,第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量,一、随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果常和数量相联系，由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例 掷一颗骰子,考察面上出现的点数；,七月份北京的最高温度；,每天从郑州站下火车的人数；,昆虫的产卵数；,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,.,X(),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？,（1）它随试验结果的不同而取不同的值， 所以在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.
2、,（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,定义 2.1.1 设随机试验 E 的样本空间= ，如果对于每一个 有实数 X() 和它对应，这样就得到一个定义在 上的实值单值函数 X(); 称 X() 为,随,量,机,变,而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母,等表示,简记为 r.v.(random variable) 。,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以把可能的 身高看作随机变量 X,然后我们可以提出关于 X 的各种问题.,如 P( X 1.7 )=
3、？ P( X 1.5 )=?,P( 1.5 X 1.7)=?,有了随机变量, 随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X= 0 ,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取值规律,三、随机变量的分类,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,非离散型随机变量,
4、所有取值可以逐个 一一列举,如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅 无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间.,其中一重要情形： 连续型随机变量,设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是 x1, x2 , 。,为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道随机变量 X 的取值，而且还应知道 X取每个值的概率。,2.2 离散型随机变量及其分布,这样,我们就掌握了X 这个随机变量取值的概率规律.,从5个球中任取3 个球，取到的,白球数X是一个随机变量。,X可能取的值是：0, 1, 2。,取每个值的概率为,例1,且,定义2.2.1 ：设 xk (k=1,2, )是离
5、散型随机变量 X 所取的一切可能值，称,k=1,2,为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律.,一、离散型随机变量概率分布的定义,离散型随机变量 X 的概率分布或分布律，也可以用表格的形式来表示：,其中 (k=1,2, ) 满足：,（2）,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,解: 依据概率分布的性质，,a0，,从中解得,欲使上述函数为概率分布，应有,因为，,注：若已知离散型随机变量 X 的概率分布,k=1,2,则对于任意实数ab, 事件aXb的概率可由概率分布求得。,且事件X = xi 互不相容，由概率的可加性，得到,例 随机的掷一颗骰子，表示的样本点,: 出现1点 出现2点 出现3点
6、 出现4点 出现5点 出现6点,X(): 1 2 3 4 5 6,X的概率分布为,注意:,离散型随机变量的概率分布分以下几步来求: (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率 (3) 列出随机变量的概率分布表.,例3：袋内有 5个黑球，3个白球，每次抽取一 个，不 放 回，直 到 取得黑球为止。记 X 为取到白球的数目，Y为抽取次数，求X、Y 的概率分布及至少抽取3次的概率。,解: (1) X 的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, P(X=1)=(35)/(87)=15/56, 类似有 P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56, P(X=3)=
7、1/56, 所以, X的概率分布为,(3) P(Y3) =P(Y=3)+P(Y=4) =6/56,(2) Y的可能取值为1,2,3,4, P(Y=1)=P(X=0)= 5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, 所以Y的概率分布为,四、常见离散型随机变量的概率分布,1、两点分布,设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用=1, 2表示其样本空间. P( 1 ) = p , P( 2 ) = 1-p,来源,X()=,1, = 1 0, = 2,例 5 200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今
8、从中随机地抽取一件,若规定,X()=,1, 取到合格品 0, 取到不合格品,则 PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 故 X 服从参数为0.98的两点分布 . 即 X B(1,0.98).,2、二项分布： 设贝努里试验中，每次试验事件A出现(成功)的概率都是 p，失败的概率都是 q =1-p. 用 X 表示 n 重贝努里试验中事件A出现（成功）的次数，则X的概率分布为,其中：0p1，q=1-p，,记为 XB(n, p).,例6:一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 求取得合格品件数X, 以及取得不合格品件数Y的概率分布,(1) X 对应的实
9、验次数为n=4,“成功”即“取得合格品”的概率 p = 0.8,(2)此时, “成功”即“取得不合格品”的概率为p=0.2,所以, XB(4, 0.8),所以, YB(4,0.2),当 n=1 时，随机变量X服从两点分布或称作0-1分布.,或者：,设有 N 件产品, 其中有M件不合格品，今从中任取n件，试问这 n 件产品中恰有m (mM) 件不合格品的概率是多少？,例7：,例8：在6只同类产品中有2只不合格品，从中每次取一 只，共取3次 （1）每次取出的产品立即放回，再取下一只。 求取出3只产品中的不合格品数X的概率分布 （2）每次取出的产品都不放回， 求取出3只产品中的不合格品数Y的概率分布
10、,超几何分布与二项分布之间的关系：,当N 很大, n 很小时: 超几何分布近似的看成是二项分布。 命题：若 当N时，M / N p, 则有,4、Possion 分布 (泊松分布),定义:若随机变量X所有可能取得值为0，1，2，, 取各个值的概率为,则称X服从参数为的Possion分布,记为XP().,历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .,二项分布与泊松分布,命题,对于二项分布B(n, p), 当n充分大, p又很小时, 则对任意固定的非负整数k, 有近似公式,例9：已知某自动机床产品的次品率为0.001，从产品中任取5000个，求这5000个产品中 次品
11、超过5的概率？ 解 令5000个产品中次品数为X，则 XB(5000, 0.001)， 于是，所求概率 从上式可以看出，若用二项分布概率公式计算，计算量很大。但注意到，n很大，p很小，这时，np=5, 不是很大，可以用前面的近似公式,取=np=5, 可得,例10、 假定一个实验成功的概率为p(0p1),不断重复进行实验, 直到首次成功为止,求实验次数X的概率分布.,解:X 的概率分布为:,几何分布,PX=n=qn-1p, (n=1,2,.),课堂练习:,2.某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标 的概率是0.6,求击中目标次数X的概率分布.,1.设随机变量X的概率分布为,求: (1) a的值; (2) P(X1); (3) P(1X3),作业： P67： T2， T4， T10（2）,
