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1、2020/8/26,1,实用测量数据处理方法,王磊 电话:13813981022 邮箱:,东南大学交通学院测绘工程系,2020/8/26,2,第二章 插值与拟合,第一节 概述 第二节Lagrange插值 第三节Newton插值 第四节插值多项式的余项 第五节 Hermite插值 第六节 样条函数插值 第七节 曲线拟合的最小二乘法,2020/8/26,3,第一节 概述,在生产实际及科学研究中,经常要研究变量之间的函数关系y = f（x）,而函数y = f（x）往往不能直接写出其表达式，只知道它在区间a，b中某些点的函数值，而往往要求f（x）在 a，b中其它点的值。,一、问题的提出,2020/8/
2、26,5,3、目的,面对上述问题，希望找到一个简单函数 作为 的近似，便于计算、分析函数的性态。,上述问题称为数值逼近问题，函数 被称为被逼近函数， 称为逼近函数，两者之差 称为 逼近 的误差或余项。,2020/8/26,6,常用的逼近方式有两种：插值逼近与平方逼近（拟合） 插值逼近：要求误差R(x)在区间a,b上的已知点xi处的值等于零，即,平方逼近：即要求误差R(x)在区间a,b上的已知点xi处的值的平方和达到最小，即,2020/8/26,7,插值逼近与平方逼近的几何意义： 插值逼近：精确通过已知点 平方逼近：尽量符合总体轮廓 插值逼近与平方逼近的应用： 求积，地球重力场解析表达式的构建，
3、数字地面模型中的应用（内插计算），机械加工等等,2020/8/26,8,问 题 实 例,机械加工,2020/8/26,9,第二节Lagrange插值,一、代数插值问题,求 解 插 值 问 题 的 基 本 思 路,2020/8/26,10,2020/8/26,11,二、代数插值多项式的存在唯一性,2020/8/26,12,2020/8/26,13,插值多项式的存在唯一性定理,结论 若节点 互不相同，则满足插值条件（1）式的n次插值多项式（2）存在且唯一。,插值条件：,插值多项式：,2020/8/26,14,N次插值多项式的几何意义,2020/8/26,15,2020/8/26,16,值得注意的是
4、，尽管 p(x) 唯一，一般不宜直接求解方程组，因为计算量较大。 我们希望根据给定的函数表，做一个既反映f(x)的特性，又便于计算的简单函数p(x) 近似f(x),通常选一类较简单的代数多项式或分段代数多项式来做,2020/8/26,17,二、基本插值多项式,为了构造满足插值条件的便于使用的简单插值多项式 ,我们考虑一个简单的插值问题: 求一个n次插值多项式，使它在各个节点 上的值为：,2020/8/26,18,2020/8/26,19,三、Lagrange插值多项式,以n+1个n次基本插值多项式 为基础，能直接写出满足插值条件的 n次基本插值多项式,2020/8/26,20,四、线性插值与二
5、次插值,（一）、线性插值,假设,2020/8/26,21,2020/8/26,22,线性插值，虽然计算方便，应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求插值区间x0,x1比较小，且f(x)在x0,x1上变化比较平稳。否则，线性插值的误差可能很大。见下图,为了克服这一缺点，我们用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，而抛物线是最简单的二次曲线之一，下面就来研究用抛物线去逼近已知曲线的情形,2020/8/26,23,（二）、抛物线插值,令,2020/8/26,24,把n=1和n=2代入Lagrange插值多项式，即可得出线性插值与二次插值,2020/8/26,25,线性插值的几何意义,2020/
6、8/26,26,二次插值的几何意义,2020/8/26,27,我国古代天文学家在制定历法的过程中曾对插值方法做出过杰出的贡献。譬如，隋朝刘焯的杰作皇极历（公元600）、唐僧一行所造大衍历（公元727年）都使用了二次插值，特别是，晚唐徐唐造宣明历（公元822年）所使用的插值术是二阶有限差分方法，而这方面的工作比西方超前了上千年。 现代数值计算中，中国的数值计算技术反过来比西方又落后了许多,2020/8/26,28,2-3 Newton插值/* Newtons Interpolation */,2020/8/26,29,称如下形式的多项式为 牛顿（Newton）插值多项式。,优点：克服了随节点的增
7、加，计算量的增加；减少了乘除法运算。是Lagrange插值多项式的另一种表示形式；用到差分和差商等重要的数值计算的其它概念。,关键：确定上述插值多项式中的系数 。,2020/8/26,30,设 为任意 个不同的节点，取： 作为多项式空间的基底，作多项式： 将 依次代入得：,2020/8/26,31,算得：,2020/8/26,32,一、差商,零阶差商：,2020/8/26,33,显然,依此类推,2020/8/26,34,),(,),(,),(,),(,),(,3,3,2,2,1,1,0,0,x,f,x,x,f,x,x,f,x,x,f,x,x,f,x,k,k,三阶差商,二阶差商,一阶差商,差商的
8、计算方法(差商表):,零阶差商,2020/8/26,35,2020/8/26,36,2020/8/26,37,2020/8/26,38,性质1 K阶差商 可表示为函数值 , 的线性组合，即 其中: 证明：由于 ，即：,比较 的系数的系数，可得：,2020/8/26,39,把 代入如下形式的多项式 即得牛顿（Newton）插值多项式 优点： Newton插值多项式有递推关系式： 算例见书p28，例2.2,2020/8/26,40,三、差分、等距节点下的Newton插值多项式,当节点等距分布时:,h步长,这时，Newton插值多项式中： 另外： 均可以简化.,2020/8/26,41,1差分 记：
9、 ， （半分点） 定义：一阶差分：,2020/8/26,42,二阶差分：一阶差分的差分： 一般地：,2020/8/26,43,差分的性质： （1）常数的差分为零 （2）各阶差分与函数值之间的关系如下,其中 表示二项式展开系数.,2020/8/26,44,（3）差分和差商的关系如下： （1） （2） （3）,2020/8/26,45,数学归纳法证明（1）式： 设 成立，证 也成立.,2020/8/26,46, 被插值点。,以下推导以 为节点的等距插值公式。,作变换,1、公式,2牛顿向前插值，向后插值公式,2020/8/26,47,代入 ：,（牛顿前插公式或表初公式）：,即得牛顿向前插值公式,20
10、20/8/26,48,作变换,又,则,再由,（牛顿后插公式或表末公式）：,即得牛顿向后插值公式,2020/8/26,49,注：（1）（2.2）、(2.3)使用于等距节点。,（2）（2.2）、(2.3)的系数分别为 ，,差分表2-7,求解方法见表2-7。,(2.2)的系数,(2.3)的系数,2020/8/26,50,说明:节点的取法：取与x尽量接近的节点。注意两点，首先，若,2、计算量,（1）计算差分（计算量忽略不记）；,（2）由前插（后插）公式计算近似值：,（计算步骤）,乘除法次数大约为: +,秦九韶算法,达到了误差要求，则其他一些节点就用不到了，因此，表中的n,可以相当大，牛顿插值公式中的n
11、不一定就是表中的n；另外,表初,式计算。,在公式中的比重是一样的。若x不在表初、表末而在表中间，则有,实例。例中还有另外的选取节点的方法，也可以用牛顿向后插值公,公式中 似乎占有较大比重，而从误差公式的对称性知,2020/8/26,51,2020/8/26,52,表2-8,2020/8/26,53,表2-9,精确值：,说明：也可取节点为,利用牛顿向后插值公式（2.3）计算。,2020/8/26,54,由于插值函数 通常只是近似地刻画了原来的函数 ，在插值点x处计算 作为 的函数值，因而总是会有误差的，因此 称为插值函数的截断误差，或称为插值余项，利用简单的插值函数 替代原来很复杂的函数 ，这种
12、方法是否有效，关键要分析截断误差是否满足所要求的精度。,2020/8/26,55,2-4插值多项式的余项,一、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？,2020/8/26,56,则称 为 的插值余项或截断误差,设,其中,2020/8/26,57,2020/8/26,58,根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推,由于,因此,2020/8/26,59,所以,定理1.,Lagrange型余项,2020/8/26,60,设,则,-(1),的确切值为未知，但可用以： （1）估计误差界 （2）推导求积公式精度估计 （3）分析外推插值误差大于内
13、插,2020/8/26,61,例1:,解:,2020/8/26,62,二、关于插值余项的进一步分析,2020/8/26,63,高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说 来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的， 因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函 数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插 值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度 ，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点 增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善， 有时反而误差更大。,2020/8/26,64,考察函数,右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是
14、所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的,2020/8/26,65,另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。,2020/8/26,66,三、事后估计,满
15、足余项估计式(1)的使用条件是知道被插值函数,-(2),2020/8/26,67,-(3),当 与 比较接近，且 连续且变化不大时， 可以认为：,则有,整理得,-(4),2020/8/26,68,式(4)称为插值余项的事后估计式,例2:,设,试用线性插值法计算 的值，并用 事后估计式(4)估计误差,解:,用结点 作线性插值，经计算得,再用结点 作线性插值，经计算得,2020/8/26,69,由事后估计式(4)得,将误差估计值加到 中去，可得修正后 的近似值,它作为精确值 的近似值具有 四位有效数字，而 只有三位 有效数字,2020/8/26,70,第五节 埃尔米特插值,在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，不但要求“过点”，即两者在节点上具有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值，这类插值称之为切触插值，或称为埃尔米特（Hermite）插值，这是泰勒插值和拉格朗日插值的综合和推广。,2020/8/26,71,Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。,202
