华罗庚学校数学教材(五年级上)第09讲 “牛吃草”问题

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1、本系列共 15讲第九讲第九讲第九讲第九讲“牛吃草牛吃草牛吃草牛吃草”问题问题问题问题.文档贡献者：与你的缘与你的缘与你的缘与你的缘有这 样 的 问 题 ， 如 ： 牧 场 上 有 一 片 匀 速 生 长 的 草 地 ， 可 供 27头牛吃 6周，或供 23头牛吃 9周。那么它可 供 21头牛吃几周？这类问题称为 “ 牛吃草 ” 问题。解答这类问题， 困难在于草的总量 在变， 它 每天、 每周都在 均匀地生长， 时间越长， 草 的总量越多。 草 的总量是由 两部分 组成 的 ：（ 1）某个 时 间 期 限前 草 场 上 原有 的 草 量；（ 2）这个 时 间 期 限后 草场每天 （ 周） 生 长

2、而新增的草 量。 因 此， 必 须设法找出这 两个量 来 。下面就用开头 的题 目为例 进行 分析。（见下图）从上面的线段 图可 以看 出 23头牛 9周的总草量 比 27头牛 6周的总草量多， 多 出部分相当 于 3周新生长的草 量。 为 了求出一周 新生长的草量， 就 要进行转化。 27头牛 6周吃草量相当 于 27 6=162头牛一周吃草量（ 或一头牛吃 162周 ） 。 23头牛 9周吃草量相当 于 23 9=207头牛一周吃草量 （或一头牛吃 207周 ）。 这 样 一 来 可 以 认 为每周新生长的 草量 相当于 （ 207 162） （ 9 6） =15头牛一周的吃草量。 需要解

3、 决 的 第 二个 问 题 是 牧场 上 原 有 草量 是 多 少 ？ 用 27头牛6周的总吃草量 减 去 6周新生长的草量（ 即 15 6=90头牛吃一周 的草量）即为牧 场原 有的草 量。所以 牧 场 上 原 有 草 量 为 26 6 15 6=72头牛 一 周 的 吃 草 量（或者为 23 9 15 9=72） 。牧场上 的 草 21头牛几 周 才 能 吃完 呢 ？ 解 决这 个 问 题 相当于 把21头牛分成两部 分。 一 部分看成专吃 牧场上 原有 的草， 另 一部分 看成专吃 新 生 长 的草 。 但 是 新生 的 草 只 能维 持 15头牛的 吃 草 量 ，且始终保 持 平 衡

4、（前 面 已 分 析过 每 周 新 生的 草 恰 够 15头 牛 吃 一 周 ）。故分出 15头牛吃新生长 的草， 另一部分 21 15=6头牛去吃原有 的草。所 以牧场上的草 够 吃 72 6=12周，也 就是这个牧场 上的 草 够 21头牛吃 12周。例 2：一只船发现 漏水 时，已 经进 了一些 水， 水匀速 进入 船内。 如果 10人淘 水 ， 3小时 淘 完 ； 如 5人淘 水 8小时 淘 完 。 如 果 要 求 2小时淘完，要 安排 多少人 淘水 ？ 分析与解答： 这 类问题， 都 有它共同的 特点， 即总水量随漏 水的延长而增加。 所以总水量是个 变量。 而单位时间内漏进 船的

5、水 的增长量是不变 的。 船 内原有的水量 （即发现船漏水时 船内 已有的 水量）也是不变 的量 。对于 这个 问题我 们换 一个角 度进 行分析 。 如果 设 每 个 人 每 小 时 的 淘 水 量 为 “ 1个单 位 ” ，则 船 内 原 有 水量与 3小时内 漏 水 总 量之 和 等 于 每人 每 小 时 淘水 量 时间 人 数 ，即 1 3 10=30。船内原有水量 与 8小时漏水量之 和 为 1 5 8=40。每小时的漏水 量等 于 8小时与 3小时总水量之 差 时 间 差 ， 即（ 40 30） （ 8 3） =2（即每小时漏 进水 量 为 2个单位， 相当 于每小时 2人 的 淘

6、 水 量 ）。船内 原 有 的 水 量 等 于 10人 3小时 淘 出 的 总 水 量 3小时 漏 进水 量 ， 3小时漏进水量 相当 于 3 2=6人 1小时淘水量。 所 以船内 原有水量为 30 2 3=24。如果 这 些 水 （ 24个单 位 ） 要 2小时 淘 完 ， 则 需 24 2=12人 。但与此同时， 每 小时的漏进水 量又 要安 排 2人淘出， 因此共需要 12 2=14人。从以上这两个 例题 看出， 不 管从哪一个 角度来 分析 问题， 都 必须求出原有的 量及 单位时 间内 增加的 量， 这 两个量是不变 的量。 有了这两个量， 问题 就容易 解决 了。例 3： 12头牛

7、 28天可以 吃 完 10公亩牧 场 上 全 部牧 草 ， 21头牛 63天可以吃 完 30公亩牧场上全 部牧 草。多 少头 牛 126天可以吃 完 72公亩牧场上全 部牧草 （每公亩牧场上原 有草 量相等， 且 每公亩牧 场每天生长草量 相等 ）？分析： 解 量的关键在于 求出一 公亩 一天新 生长 的草量 可供 几 头牛吃一天，一 公亩 原有的 草量 可供几 头牛 吃一天 。12头牛 28天吃 完 10公亩 牧 场 上 的 牧 草 ， 相 当 于 1公亩 原 来的 牧 草 加 上 28天 新 生 产 的 草 可 供 33.6头 牛 吃 一 天 （ 12 2810=33.6） 。21头牛 6

8、3天吃 完 30公亩 牧 场 上 的 牧 草 ， 相 当 于 1公亩 原 有的 草 加 上 63天 新 生 长 的 草 可 供 44.1头 牛 吃 一 天 （ 63 2130=44.1） 。1公亩一天新生 长的 牧草可 供 0.3头牛吃一天， 即：(44.1 33.6) (63 28)=0.3（头）1公亩原有的牧 草可 供 25.2头牛吃一天， 即：33.6 0.3 28=25.2（头）72公亩原有牧草 可 供 14.4头牛吃 126天，即：72 25.2 126=14.4（头）72公亩每天新生 长的 草量可 供 21.6头牛吃一天， 即：72 0.3=21.6（头）所以 72公亩牧场上的 牧

9、草 可 供 36（ =14.4 21.6） 头牛吃 126天，问题 得解。 解：一公亩一 天新 生长草 量可 供多少 头牛 吃一天 ？（ 63 21 30 12 28 10） （ 63 28） =0.3（头）一公亩原有牧 草可 供多少 头牛 吃一天 ？12 28 10 0.3 28=25.2（头）72公亩的牧草可 供多 少头牛 吃 126天？72 25.2 126 72 0.3=36(头 )例 4： 一 块草地， 每 天生长的速度 相同。 现 在这片牧草 可 供 16头 牛吃 20天， 或者供 80只头吃 12天。 如果一头牛一天 的吃草 量等 于 4只羊一天的吃 草量， 那么 10头牛与 6

10、0只羊一起吃可 以吃 多少天 ？分析： 由 于 1头牛每天的吃 草量 等 于 4只羊每天的吃 草量， 故60只羊每天的吃 草量 和 15头牛每天的吃 草量 相等， 80只羊每天 吃草量与 20头牛每天吃草 量相 等。解： 60只羊每天吃草 量相 当于多 少头 牛每天 的吃 草量？60 4=15（头）草地原有草量 与 20天新生长草量 可供 多少头 牛吃 一天？16 20=320（天）80只羊 12天的吃草量可 供多 少头牛 吃一 天？80 4 12=240（头）每天新生长的 草量 够多少 头牛 吃一天 ？ （ 320 240） （ 20 12） =10（头）原有草量可够 多少 头牛吃 一天 ？

11、 320 20 10=120（头）原有草量可 供 10头牛与 60只羊吃多少天 ？120 （ 60 4 10 10） =8（天）例 5：一水 库 原 有 存水 量 一 定 ，河 水 每 天 均匀 入 库 。 5台抽水 机 连续 20天可抽干， 6台同样的抽水 机连 续 15天可抽干。若 要 求 6天抽干，需要多 少台 同样的 抽水 机？ 解：水库原有 的水 与 20天流入水可供 多少 台抽水 机 抽 1天？20 5=100（台）水库原有水 与 15天流入的水可 供多 少台抽 水机 抽 1天？6 15=90（台）每天流入的水 可供 多少台 抽水 机 抽 1天？（ 100 90） （ 20 15）

12、 =2（台）原有的水可供 多少 台抽水 机 抽 1天？100 20 2=60（台）若 6天抽完，共需 抽水 机多少 台？ 60 6 2=12（台）例 6：有三片草场 ，每 亩原有 草量 相同， 草的 生长速 度也 相同。 三片草场 的 面 积 分别 为 亩、 10亩和 24亩。第 一 片 草 场可 供 12头313牛吃 4周，第 二 片 草 场可 供 21头牛 吃 9周。问 ： 第 三 片草 场 可供多少头牛 吃 18周？用方程解： 解：设每亩草场原 有的草 量 为 a，每周每亩草场新 生长 草量 为b。依题意 第一片草场（ 亩）原有的草 与 4周新生长的草 量之 和为：313（ ） a（ 4

13、 ） b313 313每头牛每周的 吃草 量为（ 第一 片草场 亩 ）：313 (12 4)= (1)ba )313(4)313( + 4123 )4(10+ba 72)4(5 ba+第二片草场（ 10亩）原有的草 与 9周生长出来的 草为 ：10a (10 9)b每头牛每周的 吃草 量为：（第二片草场） (2)921)910(10+ ba由于每头牛每 周吃 草量相 等， 列方程 为： (3)72)4(5921)910(10 baba +=+5a=60ba=12b（表 示 1亩草 场 上 原 有 草 量 是 每周 新 生 长 草量的 12倍）将 a=12b代入（ 3）的两边得到 每头 牛每周

14、吃草 量为 。b910设第三片草场（ 24亩）可供 x头牛吃 18周吃完，则由每 头 牛每周吃草量可 列出 方程为 ：(4)91018 )2418(24 bxba =+ x=36答：第三片草 场可 供 36头牛 18周食用。这道题 列 方 程 时引 入 a、 b两个辅 助 未 知 数， 在 解 方 程时 不 一定要求出其数 值， 在本题 中只 需求出 它们 的比例 关系 即可。 习 题 九1 一场牧场长满 草， 每 天牧草都均匀 生长。 这片牧场可供 10头牛吃 20天，可 供 15头牛 吃 10天。问 ： 可 供 25头牛吃 多 少天？2 22头牛 吃 33亩草 地 上 的 草 ， 54天可

15、 以 吃 完 ； 17头牛 吃 28亩同 样 的 草 地 上 的 草 ， 84天可 以 吃 完 。 问 ： 同 样 的 牧 草 40亩可供多少头 牛食 用 24天？ （每亩草地原有 草量相 等， 草 生长速度相等）3 有一牧场， 17头牛 30天可将草吃完； 19头牛则 24天可以 吃完。现 有 若 干 头牛 吃 了 6天后， 卖 掉 了 4头牛， 余 下 的 牛再吃两天便将草 吃完。问 ：原 来有多少头牛 吃草（ 草均匀生长 ） ？4 现欲将一池塘 水全 部抽干， 但同时有水匀速 流入池 塘。 若 用 8台抽 水 机 10天可 以 抽 干 ； 用 6台抽 水 机 20天能 抽 干 。 问 ：若要 5天抽干水，需 多少 台同样 的抽 水机来 抽水 ？