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1、1,乘法公式,2,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0, 则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为 乘法公式, 利 用它们可计算两 个事件同时发生 的概率,3,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,请看下面的例子,4,例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现
2、从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,5,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,6,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年
3、以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,7,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,8,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系,条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是否一定有:,或 P(A|B)
4、 P(A)?,P(A|B) P(A)?,请思考！,9,例4教材 Page 13,例5 教材 Page 14,10,当P(A1A2An-1)0时，有 P (A1A2An） =P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),推广到多个事件的乘法公式:,11,例 已知在20个同种零件中有3个次品，其余为合格品。从这20件中任取3次，每次抽取不放回，求 （1）3个都是合格品的概率 （2）3个都是次品的概率 （3）只有一个是合格品的概率,12,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行
5、四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,13,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,14,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R
6、3R4),15,一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,后抽的确比先抽吃亏吗？,让我们用 概率论的知识来计算一下。,16,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,17,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到
7、入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,18,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,19,箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优 名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中 随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶,问：恰好第一个人拿到两瓶部优名酒,同时第二 个人拿到部优、国优名酒各一瓶,第三个人 拿到两瓶国优名酒的可能性有多大?,解：
8、设,例,20,显然, 所求事件的概率为：,从而：,而：,10瓶名酒，其中 部优7瓶，国优3瓶， 第一人拿到两瓶 优名酒同时第二 人拿到部 优、国 优名酒各一瓶,第 三个拿到两瓶国 优名酒,21,例 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时 打破的概率为 ，若第一次落下时未打破,第 二次落下破的概率为 , 若前两次落下未打 破, 第三次打破的概率为,试求：透镜落下三次未打破的概率。,解：设,解法1.,因为：,所以有：,22,解法2.,23,我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？,我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.,
