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1、,第五节,一、近似计算,二、微分方程的幂级数解法,函数幂级数展开式的应用,第十二章,三、欧拉公式,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,用此式求 ln2 计算量大,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),的近似值 , 并估计,( 取,例4. 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,例5. 计算积分,的近似值, 精确到,解: 由于,故所给积分不是广义积分.
2、,若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1,则它在积分区间,上连续, 且有幂级数展开式 :,二、微分方程的幂级数解法,代入原方程, 比较同次幂系数可定常数,由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.,设所求解为,幂级数解法 本质上就是 待定系数法,1. 一阶微分方程的情形,例6.,解: 根据初始条件, 设所求特解为,代入原方程, 得,比较同次幂系数, 得,故所求解的幂级数前几项为,2. 二阶齐次线性微分方程问题,定理:,则在R x R 内方程 必有幂级数解:,设 P(x), Q(x) 在 (R, R ) 内可展成 x 的幂级数,(证明略),此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多,重
3、要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的.,例7.,的一个特解.,解:,设特解为,代入原方程整理得,比较系数得:,可任意取值,因是求特解, 故取,从而得,当n 4 时,因此,注意到:,此题的上述特解即为,三、欧拉(Euler)公式,则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,欧拉,定义: 复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 y = 0 时, 它与实指数函数,当 x = 0 时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,欧拉,据此可得,(德莫弗公式),利用
4、幂级数的乘法, 不难验证,特别有,第六节,作业 P291 1 (1),(3); 2(2)；3(1),(3); 4(2),第七节,备用题 1.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和. (2002考研),解: (1),所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,代入初始条件可得,故所求级数的和,2.,解:,求解勒让德 (Legendre) 方程,展成幂级数,故方程满足定理条件.,设方程的解为,代入 :,因方程特点, 不用将 P, Q 进行展开,定理,整理后得:,比较系数, 得,例如:,于是得勒让德方程的通解:,上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛,可以任意取,它们是方程的,两个线性无关特解.,欧拉 (1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论 , 微,还,写了大量力学, 几何学, 变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理 , 积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数, 公式和定理.,
