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1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第十二章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,*四、柯西审敛原理,第一节,第十二章,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,引例3.,小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减,问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(
2、s ),设 tk 表示第 k 次小球落地的时间,(此式计算用到 后面的例1),少一半,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,
3、等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,例2. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,例3.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也
4、收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列
5、,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,例4.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级数(1) 发散.,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),这说明原级数收敛, 其和为 3 .,(3),的充要条件是:,*四、柯西审敛原理,定理.,有,证:,设所给级数部分和数列为,因为,所以利用数列,的柯西审敛原理(第一章,第六节) ,即得本定理的结论.,例6.,解:,有,利用柯西审敛原理判别级数,当 nN 时,都有,由柯西审敛原理可知, 级数,作业 P253 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5); *5(3), (4),第二节,
