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1、,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X - 型区域,则,若D为Y - 型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,例1. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X - 型区域, 则,解法2. 将D看作Y - 型区域, 则,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中
2、D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y - 型区域 , 则,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,二、利用极坐标计算二重积分,对应有,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,即,设,则,特别, 对,此时若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问
3、的变化范围是什么?,(1),(2),例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,故式成立 .,又,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,*三、二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xOy 面上得到一
4、个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,例8. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,例9. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,例10. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,内容小结,(1) 二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下
5、,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,2. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,作业,P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2),第三节,解：,原式,备用题,1. 给定,改变积分的次序.,2. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,
