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1、最佳(MMSE)线性滤波,最小均方误差估计 线性预测 MMSE滤波器设计,随机信号作为滤波器的输入(p.107-111),传统滤波器:低通,高通,带通,带阻对信号的不同频率分量进行取舍 传统滤波器在很多应用场合不符合实际需要,例子：信道均衡器设计,通过对接收信号的线性组合，从x恢复出y,更一般化的信号估计问题：基于接收信号，构造一定结构的估计器，从中恢复出期望的信号（又称信号估计问题）。,滤波器设计的步骤：,确定估计器的实现结构：IIR，FIR 预先假设信号的统计特性（输入，噪声等）：独立同分布输入 确定性能准则（目标函数），及其参数 确定优化方法：估计器系数的求解,最小均方误差准则,期望信号
2、,估计信号,实现最佳滤波的常用准则：,最小均方误差线性估计：,导致简单的滤波器求解算法 易于进行性能分析,线性均方误差估计,一般化问题模型,期望信号,观测信号,待估计参数,时间下标,不同参数，不同观测信号,对非时变系统,注意和书(6.2.1)-(6.2.4)的比较,共轭转置,误差性能函数,期望信号平均功率,观测信号和期望信号的互相关,观测信号的相关矩阵,滤波器系数求解,原则：,矢量函数的求导,常用求导公式,与6.2.11一致,正交性原理,随机矢量的内积定义为,正交：内积等于0,对于最小均方误差估计，当实现最佳估计时,正交性原理：当实现最佳估计时，估计误差与所采用的观测信号正交 可以证明，正交性
3、原理和最小均方误差是等价的,MMSE参数估计主要结论,仅依赖于期望信号和输入数据 性能曲面是滤波器参数的二次函数，函数曲面是凸曲面，且存在唯一全局最小点， 在偏离最佳估计系数时，所造成的超量误差只决定于输入数据的相关矩阵。 正交性原理提供滤波器参数估计的直观解释和参数估计途径 滤波器参数也可由相关矩阵的特征值和特征向量计算得到。,平稳过程的最佳有限冲激响应滤波,考虑一般线性最优估计问题中只有一路观测信号，利用信号不同时刻值的线性组合实现信号估计，考虑非时变问题,基于最小均方准则，可以得到,平稳过程的最佳有限冲激响应滤波频率域解释,基于正交性原理,维纳霍夫方程,两边取傅立叶变换,从上式求解不一定
4、能得到FIR因果滤波器 更适应于求解IIR非因果滤波器,线性预测,前向预测：利用某一时刻以前p时刻的数据的线性组合来预测该时刻的值。,不同表现形式,预测误差定义为：,预测均方误差定义为：,和AR模型的YW方程是一致的。,预测误差和观测值相互正交， 是最佳线性预测的充要条件,线性预测与AR模型的关系 假设信号是一个p阶AR模型，对其应用一个p阶预测器，得到预测误差为：,即预测误差是白噪声，预测过程又称白化(whiten),AR模型 白化滤波 线性预测,后向预测：利用某一时刻以后p时刻的数据的线性组合来预测该时刻的值。,预测误差定义为：,预测均方误差定义为：,后向预测的维纳-霍夫方程,前向预测与后
5、向预测的关系,前向预测维纳霍夫方程（二阶预测为例）,相关矩阵按行逆序,再按列逆序,后向预测方程:,结论:,对复信号,有类似结论:,线性预测的基本性质,对平稳信号,前向预测算子是最小相位的,后向预测算子是最大相位 线性预测系数可由自相关矩阵的特征矢量和特征值求解. 预测误差可由相关矩阵的行列式求解。,线性预测应用例子：信道均衡,信道模型,均衡器输出:,线性预测应用例子：信道均衡,可以证明, 延时为m的线性预测,当预测长度足够长是,预测误差为,规则方程,输入信号为零均值,独立同分布信号 信道传输矩阵第m列,考虑两个不同延时的预测器,有,IIR滤波器的维纳-霍夫方程,平稳过程的最佳无限冲激响应滤波,
6、正交性原理,最小均方误差,非因果维纳滤波器,双边z变换：,不一定是因果系统，物理不可实现,平稳过程的最佳无限冲激响应滤波,因果IIR维纳滤波器,要求:H(n)为单边序列（右边序列），极点在单位圆内,平稳过程的最佳无限冲激响应滤波,维纳-霍夫方程,一种简单情况:滤波器输入为白噪声,求单边z变换,平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波,维纳-霍夫方程,H(z)是可逆的最小相位系统,w(n)可以看成是随机信号下x(n)的更新,当x(n)是规则过程时,白化滤波器一定存在,同样 信息,一般情况:先设计一个滤波器将输入信号白化,平稳过程的因果最佳无限冲激响应滤波,谱因式分解：,G(z)的求解,最小相位,Q(z)的求解,双边z变换,最佳IIR滤波的应用例子:降噪,有用信号,零均值,与y(n)不相关,非因果滤波器:,因果滤波器:p.284,
