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1、第二章 自动控制系统的数学模型2-1 动态微分方程,一、基本概念,1、系统的数学模型:描述系统输入输出变量以及各变量之间 关系的数学表达式 1)动态模型:描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式,它一般是时间函数。 如:微分方程,传递函数,状态方程等。 2)静态模型:描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数 2、建立动态模型的方法 1)机理分析法:用定律定理建立动态模型。 2)实验法:用实验数据提供的信息,采用辨识方法建模。 3、建立动态模型的意义:找出系统输入输出变量之间的相互关系,以便分析设计系统,使系统控制效果最优。,二、列写系统微分方程的步骤,1、确定系统的输入量和输出
2、量 2、根据系统所遵循的基本定律,依次列写出 各元件的微分方程 3、消中间变量,得到只含输入、输出量的标 准形式,三、举例,例1:设有由电感L,电容C和电阻R组成的电路,如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。,(1)确定电路的输入量和输出量,解:,U1为输入量,U2为输出量,(2)依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程,(3)消去中间变量,得到U2与U1的关系方程,对(2)式求导得,代入(3)式并整理得,例2:如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力作用产生位移Y,求该系统的微分方程。,解:,(1)确定输入量和输出量,输入量:外力F(t)
3、输出量:位移y(t),(3)消去中间变量,得到输入与输出的关系方程,(2)列写原始微分方程,其中,阻尼器的粘性摩擦力,弹簧的弹力,(1),将以上各式代入(1)式得,整理得,例3:设有带直流电动机系统,如图所示。试列写系统微分方程。,解:,(1)确定输入输出量,输入量ua,,设,输出量n,设,(2)列微分方程,等效电路如图所示,电枢回路的微分方程:,-电势常数,电动机机械微分方程,若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时:,(2-2),(2-1),电动机机械微分方程,若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时:,其中,,通常忽略不计。,电动机电磁转距与电枢电流成正比,(3)消去中间变量,将(2-3)带
4、入(2-4)得,(2-3),(2-4),(2-5),(2-6),将(2-5),(2-6)带入(2-1)得,(2-7),令:,-电动机机电时间常数,-电动机电磁时间常数,得,(2-8),若以 为输入,电动机转角 为输出,将(2-9)(2-10)(2-11)带入(2-8)得,(2-9),(2-10),(2-11),(2-12),例4 下图所示为闭环调速控制系统,编写控制系统 微分方程。,(2)编写各环节的微分方程,解:(1)确定系统输入输出量,输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc.,1)比例放大环节,假定,,有,2)可控硅整流功率放大环节,Ud=KsUk ; Ks-电压放大系数,(2-15),(2-16),3)直流电动机,其中,R电动机回路和可控硅整流电路总电阻,4)反馈环节,比例系数,(3) 消去中间变量,(2-17),将式(2-15)(2-16)代入(2-17)经整理得:,=,(2-18),令 Ks K1=Kg,正向通道放大系数,Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数,得闭环系统的微分方程式:,