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1、振动概念（vibration）物体经过它的静平衡位置所做的往复运动。或者说某一物理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、交流电、电磁波、潮水的涨落等。,2 机械振动的研究对象和分类,2.1 研究对象“振动系统”,系统的定义： 由若干个元素构成的有机组合，个元素间存在着相互作用、互相影响的关系。,机械系统的定义： 由若干个机械元件组成的系统。具体的讲，是由运动副连接的一些构件所组成的能完成一定运动的机械装置。,2.2 机械系统研究内容,系统的研究内容包括三个方面：,已知系统的输入（X）和系统（S）,求输出(Y)系统的动力响应分析，或叫动态分析。 已知系统的
2、输入（X）和输出(Y)，求系统（S）系统设计；系统识别或系统辨识。 已知系统的系统（S）和输出(Y)，求输入（X）环境预测。,自由振动：给图中质量块一个激励，给一个初始位移后，质量块就开始振下去。 强迫振动：用一个电机作元件，给系统一个持续激励，系统会在电机的强制激励下振动。 自激振动：扬声器的鸣叫声。,3 机械振动的分类,3.1 按输入分,简谐振动：符合正弦（预选）规律的振动。 周期振动：x（t）x（t+kT）， 瞬态振动：风铃随风而动；地震 随机振动：不能用当前的现象预测未来，但是符合统计学规律，可以用统计的方法来研究。如，烟的运动；红旗的飘动。,3.2 按输出分,自由度：用来描述一个物体
3、确定运动的独立坐标。 单自由度系统： 多自由度系统： 可以是两个、三个甚至是n个自由度系统，n个独立坐标，n维空间。 连续系统：用偏微分方程描述,3.3 按自由度划分,可用微分方程描述,线性振动 非线性振动:,3.4 按微分方程分,4 主要参考文献,书+期刊 书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、 李有堂、张义民等 期刊：噪声与振动 （sound and vibration）,第2章 单自由度线性系统的振动,2.1 一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统,2.3 有线性阻尼自由振动,2.4 简谐激励力作用下的强迫振动,2.8 隔振原理,2.5 周期激励下的响应,2.6 任意激励下的响应,2.7 简谐
4、力的功和等效阻尼,2.2 固有频率的计算,第2章 单自由度线性系统的振动,当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F，物体由此产生的加速度和物体质量m之间有下述关系：,构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。,构成机械振动系统的基本元素,质量的单位为kg。,第2章 单自由度线性系统的振动,阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度x的函数，阻尼力可表
5、示为 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系数，单位N.s/m。,典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位移的函数，即Fs=Fs（x）。当Fs（x）是线性函数时，有： Fs=kx (1-2) k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。,质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统物理模型的三个基本元件。,自由度与广义坐标 自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。 刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船； 质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球； 质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。,第2章
6、单自由度线性系统的振动,质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件,2.1 离散系统的组成,第2章 单自由度线性系统的振动,第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成,弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件,阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件,第2章单 自由度线性系统的振动 2.1 离散系统的组成,等效弹簧刚度,斜向布置的弹簧,串联弹簧,并联弹簧,并联系统,串联系统,等效阻尼系数,传动系统的等效刚度,传动系统的等效阻尼,ct1e= ct1 / i 2,等效质量,传动系统的等效惯量,单自由度系统的类型,机 械 振 动 学,例：如右图，舍振动体的质量为m，它所受的重力为W，弹
7、簧刚度为k,弹簧挂上质量块的静伸成量为j，此时系统处于静平衡状态，平衡位置为0-0，求给系统一个初始扰动后系统的振动方程。,模型的建立,机 械 振 动 学,无阻尼自由振动： 振动系统受到初始扰动后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。,机 械 振 动 学,解：取静平衡位置为坐标原点，以X轴为系统的坐标轴，向下为正方向建立坐标系。 以x表示质量块的受扰后的位移，当质量块离开平衡位置时，在质量块上作用的力有：,由于受力不平衡，质量块产生加速度,机 械 振 动 学,根据牛顿第二定律建立振动微分方程：,二阶齐次常系数微分方程，,机 械 振 动 学,扭转振动问题,例1-2： 右图所示，垂直轴的
8、下端固定一个水平圆盘。已知轴长为l ,直径为d,剪切弹性模量为G,圆盘的转动惯量为I，在盘上施加初始扰动后（如力偶），系统做自由扭转振动。若不计阻尼影响，振动将永远持续下去。求系统的振动方程。,机 械 振 动 学,由材料力学知：扭转刚度为：,机 械 振 动 学,典型的单自由度自由振动单摆,例1-3：如左图所示， 求t时刻刚体的角度 是多少？,机 械 振 动 学,解： 以静平衡位置为原点，以角增加的方向为正方向建立坐标系。 隔离物体，进行受力分析。 使用牛顿定律建立振动模型：,力矩形式：,力形式：,？,机 械 振 动 学,1-2 无阻尼单自由度系统的自由振动规律,机 械 振 动 学,结 论,单自
9、由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的, 规律是相同的，具有以下特点： 1.单自由度无阻尼振动是简谐的。 2.振幅决定于初始条件：,图中系统，用手把m移到X0位置，初始位移的大小决 定于m的振幅，如果放手的同时，给m一个右向的初 速度，可以通过上式计算出其最大振幅。,机 械 振 动 学,固有频率与初始条件无关。系统一定，固有频率一定。,思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？,结 论,机 械 振 动 学,在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。,1、静变形法（Static Deform
10、ation Method）,当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在关系式：,由上式可得：,故系统的固有频率为：,由此可见，只要知道质量块处的弹性静变形，就可以计算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。,例1 设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。,自由端有集中质量的悬臂梁,解：悬臂梁在自由端由集中力mg所引起的静挠度为：,当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度，然后按（1）式计算系统固有频率。,2、能量法（Energy Me
11、thod）,在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅 始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们 将这样的系统称为保守系统。,在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的 任一瞬时机械能应保持不变。,式中： T系统中运动质量所具有的动能； U系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功 而产生的重力势能。,即： T+U=常数 或,对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为：,1. 重力势能：当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。 2. 弹性势能：当质量块m运动至离静平衡位置距离+x时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。如下图所示
12、，系统的弹性势能为：,故系统的势能为：,所以：,系统的势能则由以下两部分组成：,单自由度振动系统的弹性势能,这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程，而无能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。,若将无阻尼自由振动的时间历程 代入系统的能量方程（2）式可得：,这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的最大值相等，即：,根据上式即可算出系统的固有频率：,对弹簧质量系
13、统（单振子）用上述能量法意义不大。但是复杂的单自由度系统用能量法计算固有频率比较方便。,例1：一根矩形截面梁，上面承受质量为m的物体（如图所示）。若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。,承受质量的矩形截面梁,解：梁的刚度可用静变形法求出：,而梁的静扰度可根据材料力学公式计算：,代入（3）式即可求出该系统的固有圆频率：,例2:下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件无定向摆。已知a=3.54cm，mg=0.856N，k=0.3N/cm。且整个系统对转动轴o的转动惯量。试求系统的固有频率。,无定向摆,解：取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广 义坐标，并设 则,对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位
14、置时的速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即：,当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分： 1）弹簧变形后储存的弹性势能： 2) 质量块m的重心下降 后的重力势能：,解：取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标，并设 则 故 对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即： 当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分： 1）弹簧变形后储存的弹性势能： 2) 质量块m的重心下降 后的重力势能：,因为,故,得,前面介绍的几种计算系统固有频率的方法，都是将系统中弹簧的质量
15、忽略不计。但是在有些系统中，弹簧本身的质量在系统总质量中占有一定的比例，此时若再忽略弹簧的质量，就将会使得计算出来的系统固有频率偏高。瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进去，从而能得到相当准确的固有频率值。,3.瑞利法（Rayleigh Method）,应用瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式。而且所假定的振动形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接近准确值。实践证明，以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式，则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小的。,现以最简单的弹簧质量系统为例来说明瑞利法的应用。在下图的系统中，若弹簧的质量与质量块的质量
16、相比是很小的，则系统的振动形式就不会显著地受到弹簧质量的影响。在这种情况下，假设弹簧在振动过程中的变形（各截面的瞬时位移）与弹簧在受轴向静载荷作用下的变形相同是足够精确的。,弹簧质量系统,解:假设弹簧上距固定端距离为 处的位移为：,式中：l处于平衡位置时弹簧的长度； x 弹簧在联结质量块一端的位移。,令表示弹簧单位长度的质量，则弹簧微段d的质量为d.其最大动能则为:,弹簧在处的微段d的速度应为:,当质量块在某一瞬时的速度为 时，,所以弹簧的全部动能为：,显然，系统的全部动能应该是质量块m的最大动能与弹簧的最大动能之和，即,系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：,所以弹簧的全部动能为：,由动能和势能相等原理得：,对简谐振动来说，上式即成为：,由此可以得出系统固有频率的计算公式为：,结论：为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将1/
