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1、七 线性空间1.（北京交通大学2003）设 求中与可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数和一组基。 解 注意到。则与可交换当且仅当与可交换。设，由得，且， 所以，因此与可交换的全体矩阵所作成的子空间的维数为5，一组基为，。2. （西安交通大学2004）设 ， 记，求的基和维数。解 分析：令，则，于是只需求线性方程组，它的基础解系就是的一组基。 得的一个基础解系 ， ， ，它就是的一组基，且的维数等于3.3.（天津大学2004）已知，。求及的基和维数。 解 由知。 知。那么有 任意，则任意。任意，得，是的一组基。于是，且显然，所以可取为的一组基。4.（上海交通大学2003） 以表示数域F上全体2阶
2、矩阵构成的线性空间，为两两互异的数且它们的和不等于零。证明 是的一组基。证明 ，是的一组基， 。令 ， 则， 而是的的系数，即 。 由已知条件为两两互异的数且它们的和不等于零，所以，于是是的一组基。5.（北京大学2002） 数域F上的矩阵称为循环矩阵。用表示数域F上全体循环矩阵的集合。证明：是数域F上全体矩阵构成的线性空间的一个子空间，并求的一个基和维数。 证明 令，注意到的形式及，那么有 。 若，并记， 则 ， ，所以是的一个子空间。注意到线性无关且中的每个矩阵都可以表示成的线性组合，所以是的一组基，。6.（北京师范大学2006）设是数域F上的一个维线性空间，是的两个子空间，且。证明：存在的
3、一个子空间，使得证明 若，则，取，结论成立。若，则存在。分别取的一组基，则不能由线性表出，也不能由线性表出，所以线性无关，线性无关，得两个维子空间 ，。如果，则取，结论成立。如果，则继续上面过程，存在，使得 ，。令，结论成立。 7.（北京师范大学2007；北京邮电大学2004）设是数域F上的一个维向量空间。证明：（1）的任意一个真子空间都是的若干个维子空间的交。 （2）存在的维子空间使得 证明（1）设是的任意一个真子空间，若，那么结论显然成立。若，不妨设的一组基为，那么有。将扩充为的一组基，设为。分别记，,显然都是的维子空间，且 。（2）任取的个线性无关的向量，记，则 是的一个维子真空间。任取
4、，则不能由线性表出，且线性无关，从而线性无关，记，则是的一个维子真空间。再任取，则不能由线性表出，从而线性无关，记， 则也是的一个维子真空间。以下验证这样构造的符合题目要求。事实上，。而，所以是维的，而是维的，因此成立。8. 设是数域F上线性空间的两个非平凡子空间。证明：在中存在向量，使得同时成立。（书上习题）一般情形：（I）（北京大学2002）设是数域F上维线性空间的个非平凡子空间。证明：（1）中至少存在一个向量不属于中的任何一个。（2）存在中的一组基，使得。证明（1）对做数学归纳法。若，结论显然成立。设在时结论成立，那么在个真子空间的情形，由是真子空间，那么。若，那么结论成立。以下考虑的情
5、形。由归纳假设，若，那么结论也成立。因此只需考虑情形：，；，。由，得。由，得。以上表明结论成立。（2）由（1）存在。令，它是的真子空间，那么存在。由知线性无关，于是可取真子空间，依此类推，取真子空间。那么存在。令，由及得。推论依次可得都为零，即线性无关，可构成的一组基，且显然。（II）（南开大学2005）设为数域F上的一个维线性空间。证明：存在中一个无穷的向量序列，使得中的任何个向量都是的一组基。证明 任取的一组基，并记，。显然都是的真子空间，由上题结论存在。显然序列中任意个向量都线性无关，构成的一组基。对序列的个数用数学归纳法。设对于时，有满足题目的要求。那么取这个向量中的任何个生成一系列的
6、的真子空间，共个不同的子空间，由上题结论存在。显然序列中任意个向量都线性无关，构成的一组基。以上过程可以无限进行下去，因此存在中的无穷向量序列，使得中的任何个向量都是的一组基。（III）（哈尔滨工业大学2004）设为数域F上的一个维线性空间，记，。证明：存在的一组基，使得，。证明 是题（I）（2）结论的直接应用。取即可。（IV）（北京理工大学2003）设是维线性空间的个子空间，且有，证明：存在，使得。 证明 对用数学归纳法。若，结论显然成立。 假设对结论成立，那么在时，若，那么由归纳假设结论成立；若，显然结论也成立。于是只需考虑 且的情况。利用反证法。若对都有。由条件知存在使得，。考虑空间，显
7、然有。注意到由条件知。若，由归纳假设存在，使得。而由可得，那么有，与矛盾。所以必有，此结论与一起得，这显然与条件相矛盾。于是必有某个，使得。9. 设是数域F上全体维向量构成的线性空间。证明：的任一子空间必是某个元齐次线性方程组的解空间。证明 设子空间的维数为。若，则，于是是线性方程组的解空间；若，则，任取一个阶可逆矩阵，是线性方程组的解空间。以下设。任取的一组基，。则齐次线性方程组 （1）的基础解系含有个向量，任取（1）的一个基础解系，则每个都是（1）的解，相当于每个都是以下齐次线性方程组， （2）方程组（2）的系数矩阵的秩为，它的基础解系含有个向量，因此是方程组（2）的一个基础解系，从而由它
8、生成的子空间就是方程组（2）的解空间。10.（1）设是任一矩阵，将任意分块成。证明：元齐次线性方程组的解空间是齐次线性方程组的解空间的交。 （2）证明：的任何一个真子空间都是若干个维子空间的交。 （北京师范大学2007，前面有）证明 （1）实际上，当且仅当，所以 的解空间是齐次线性方程组的解空间的交。（2）首先由上一题知，的任何一个真子空间都是某个元齐次线性方程组的解空间，设此方程组为。 而由（1）知，此解空间是以下方程组 ， 的解空间（）的交，即，且显然每个的维数都为。11.（北京理工大学2004）设分别是数域F上的与矩阵，又是维（列）向量空间的子空间。证明： 。证明 记，则。由，。若，则，
9、所以，。由，得，即。12.（上海交通大学2002 ；华中师范大学2001）设是阶满秩矩阵，任意将分成两个子块。证明：维线性空间是齐次线性方程组与各自的解空间与的直和。证明 ，则，那么，由是阶满秩矩阵即可逆得，所以，是直和。又是阶满秩矩阵，所以它的行向量组线性无关，从而它的任何部分组也线性无关，所以，从而，即有。综上所述，有是与的直和。13.（武汉大学2006） 设是数域F上两两可交换的阶方阵，且。证明：齐次线性方程组的解空间是与各自的解空间与的直和。证明 ，那么。注意到由有。由于两两可交换，于是有，于是有，即有。 若，则，于是有，即。所以。14.（北京交通大学2005；南京大学2005；重庆大
10、学2005；华中理工大学2006；浙江大学2004）设，是的最小多项式，是任一次数大于零的多项式，证明：非奇异的充要条件是。等价的说法：若且可逆，则存在，使得证明 充分性。若，则存在使得 ，于是有。由是的最小多项式有，于是，推出非奇异。必要性。设可逆，若，则。令 。那么有，。由可逆得，而，这与是的最小多项式相矛盾，所以。15.（北京理工大学2003）设与分别是与的解空间，试构造两个元齐次线性方程组，使它们的解空间分别为与。解 首先，所以齐次线性方程组的解空间就是。 注意，且，。记的个列向量为，的个列向量为，则。 取的一组基，不妨设为，则，。 令，则齐次线性方程组的解空间就是。16.（浙江大学2
11、006）设是向量空间的子空间，证明：。证明 由有，即 。由及上式得。再由得。17.（厦门大学1999） 设， （1）求证为的子空间； （2）分别求的一组基与维数； （3）求证。证明 （1）容易验证为的子空间（略）；（2）显然，是的一组基。当且仅当，其余任意。所以，是的一组基，的维数为。（3）任给，则，于是，所以。又，所以，从而。18.（南开大学2006）设是的一个非空集合。假设满足下列条件： （1）中至少有一个非零矩阵； （2）； （3）都有，证明：。证明 首先证明对加法和数量乘法封闭。由条件（2）取，有。，取，得。于是，即对加法封闭。由条件（3）取代入有，即对数量乘法封闭。由条件（1）中至少有一个非零矩阵，不妨设为且。于是由条件（3），有。那么取，有。由的任意性，有。那么，又显然，所以。
