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1、数列建模与实际应用【摘要】数学应用问题的学习已成为数学教学的一个重要内容。而生活中频频出现的存款利息。分期付款、环境保护、增长率、贷款、房改等热点问题，常常需要用数列的知识来解答。学习和掌握数列建模的基本方法与实际运用，建立数学模型解题。将有助于我们在生活中更好地进行优化决策，培养我们的应用意识，主体意识和创新精神，真正做到“学以致用”。【关键词】数列 模型数学建模1、模型假设（1）假设生活中的实际问题的变化按照严格的规律进行，即忽略外界因素变化对变化规律的影响。（2）本论文实际问题提到的数据具有一般性，即不考虑不同地点的数据差异。2、建立模型（1）等差数列模型模型：求解：通项公式：前n项和
2、应用：此模型常用于变化规律呈线性的实际问题的求解，或应用于前n项和与n成二次函数关系数列应用问题。（2）等比数列模型模型：求解：通项公式： 前n项和: 应用：此模型常用于变化规律呈指数型的问题的求解。或用于变化呈递乘型（下一个数恒为上一个数的q倍）的问题的求解。（3）递推数列的模型一型:模型：求解：常用叠加法求通项公式：将， 各式相加，得2）二型：模型：求解：常用迭代法（叠乘法）求通项公式：将，各式相乘（或代入），得三型：模型：求解：令 整理得， 由， 有 所以 从而 所以数列 是首项为 ，公比为p的等比数列故四型：模型：求解：将上式两边同除以，得令，则 由此求出，从而求得五型：模型：求解：设
3、辅助数列，使 则，即 令则 转化为一型递推式，可求出，从而求出六型：模型：（n2）求解：（1）若时， 则，即 知为等比数列，公比为，首项，从而，转化为一型递推式，可求出（2）若时，存在，满足，整理得，有把，看做一元二次方程的两个根，容易求出，从而数列是等比数列，可得或转化为四型递推式，可求出应用：递推数列模型常用于已知前后两项关系的数列问题的求解。（4）还贷模型模型：一般地，购买一件售价为a元的商品中，采用分期付款方式付款，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n次付款，那么每月所付款额： （每月利息按复利计算）付款总额：nx与一次性付款的差额：nx-a应用：此模型常用于分期付款问题的求解
4、与决策，以及与其他购买方式的优化选择中。3、实际应用下面结合实例体会建模的过程与方法例1；某化工厂产品制取罐连通若干个直径相同的原料注液管，由它们向罐内分别注入不同成分的原料，如同时开放所有的注液管，那么48min可将制取罐注满，但该产品对各种原料的需求量并不相同，而是要求在所有注液管同时开放后，每隔相等的时间关闭一个注液管，到最后一个注液管关闭时，制取罐被注满，并且产品中各种原料的注入量恰好符合配方要求，如果最后关闭的注液管注液时间恰好是第一个关闭注液管注液时间的11倍，问最后关闭的注液管注液时间为多少分钟？分析：“每隔相等的时间自动关闭一个注液管”，即两注液管注液时差为定值，注液时间与注液
5、管数成线性变化规律，故可建立等差数列模型解答。解：设n个注液管注液时间分别为 min，得 成等差数列又表示n个管按要求注液所用时间总和，而48n为n个管开放所用时间总和。即 8=88答：最后关闭的注液管注液时间为88min。上面是等差数列模型建法及应用的一个实例，下面让我们轻敲等比之门，体验一下等比数列应用问题的建模方法。例2：某企业进行技术改造，提出两种方案。甲方案是：一次性投资80万元，引进一条先进生产线，每年均可增加收入20万元；乙方案是：一次性投资60万元，改进现有设备，每年均可减少成本开支18万元（减少成本开支相当于增加收入）。资金往来都通过银行结算，银行进出款的年利率都是5%，如果
6、甲、乙两种方案同时实施，实施的期限都是10年，问实施哪一种方案所获得的净收益最高？分析：实施甲方案，第一年收入为20万元，第二年总收入为20+20（1+5%）=20（1+1.05），第三年总收入为20+201.05+201.052=20(1+1.05+1.052),第十年总收入为20（1+1.05+1.052+1.059）,总收入的增长成等比数列，同理，乙方案十年减少的成本开支亦成等比数列变化。故可建立等比数列模型求解。解：设甲方案得到的净收益是S甲，乙方案得到的净收益是S乙，依题意，得：S甲=（万元）S乙=18=（万元）甲方案净收益为121.60万元，乙方案净收益为140.34万元。所以实施
7、乙方案所获得的净收益较高。（学习了研究数列变化规律的模型的建模方法后，将帮助我们进行优化判断，做出最佳选择，获得较高的利益，从而指导我们的生产生活。）例3：某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%，若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行。（1）问买股票多少年后所得红利才能和原来投资款相等？（2）要经过多少年后，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等（精确到整数年）？分析：现建立图表分析其变化规律时间项目第一年第二年第三年第x年总红利24%24%+24%（1+6%）24%+24%（1+6%）+24%（1+6%）224%+24%（1+6%）+24%（1+
8、6%）x-1由上表知，每年增加的红利恒为前一年增加红利的1.06 倍，故可建立等比数列模型求解。解：设该人将1万元购买股票，x年以后所拥有的总红利为y万元 ，则=（1）由题意得=1 两边取以10为底的对数，得 解得（2）由题意，有 两边取对数，求得所以（1）该人买股票4年后所得红利才能和原来投资款相等。（2）要经过5年，买股票所得红利与储蓄所拥有的人民币相等。实际问题中往往是等差、等比数列混合应用的问题，这时需要我们明确辨别变化规律，分步建立等差、等比模型去解决。例4：一次竞赛在n (n1)轮中共发了m枚奖章，第一轮发了一枚又余下的，第二轮发了2枚又余下的，直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖
9、章，这个竞赛共包括几轮？一共发了多少枚奖章？分析：从题目中直接找出每次所发奖牌数，与m枚总奖牌数的关系比较困难，然而，每次所发奖牌数与上一次剩余奖牌数联系却颇深，故可建立递推数列模型。解：设竞赛进行了k轮后，余下枚奖章，因为第k轮发出的奖章数为，且有即且 （四型递推数列）由四型递推数列的求解，可将上式变形为：从而，即又 ，而， 、 故n=6 m=36即这个竞赛共包括6轮，一共发了36枚奖章。解题时要分析递推关系，灵活变化，变形为我们熟知的数学模型去求解。例5：中国男子篮球甲级联赛的规则规定：每场比赛胜者得2分，负者1分（每场比赛，即使通过加时赛也必须分出胜负），某男篮甲级队实力强劲，每场比赛获
10、胜的概率为，失利的概率为，求该队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率（设该队在一赛季的全部比赛场次数为s，这里0ns）解：设经过若干场比赛，该队获得n分的概率为Pn易知 当n3时，（3nm）（六型递推数列）由六型递推数列的求解过程，上式的通项公式为： 将 代入化简，得 故=即该队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率为在递推模型问题里一番品茗之后， 让我们一起来掀起分期付款的浪波。例6：某房地产开发商采用分期付款方式向社会出售商品住房，具体事宜如下：（1）每套商品住房售价为400000元；（2）购房者必须在一年内将款全部付清；（3）购房者可分3次或4次付款，月利率为5%，每月利息按复利计算。
11、计算分4次付款购买一套商品住房：每期应付款多少元；总计应付多少元；与一次性付款的差额为多少元？分析：上述问题完全符合分期付款问题，故可建立还贷模型求解：解：在公式中 m=12 ，n=4 将这些数据代入上面公式中得每期应付款（元）总计应付款=4142272=569088（元）与一次性付款的差额：=569088-400000=169088（元）答：分4次付款购买一套住房：每期应付款142272元；总计应付款569088元；与一次性付款差额为169088元。由此可见，若分4次付款购买一套价值400000元的住房，实则需付款569088元，相当于多付款169088元。结论：数列知识内容繁纷复杂，生活中的实际问题则更是千变万化。对数列知识的模型化概括，学会根据实际问题抽象出数学模型，将有助于我们深刻地认识数列知识系统，解决实际生活问题，做出最佳选择与决策，构造出最优化的设计方案，从而让数列服务于生活，让数学为生活服务。参考文献：1、王文彦 傅荣强 龙门专题高中数列 龙门书局（2007）2、任勇 学生实用数学高考必备 中国青年出版社（2004）3、宋伯涛 5年高考精析精讲精练数学 天津人民出版社（2004.7）4、周沛耕 高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全 山西教育出版社（20094）5、段养民 中学数学解题思考方法技巧高中分册 陕西师范大学出版社（2009.7）
