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1、,13 数列的极限,一、数列的概念,二、数列的极限,三、用定义证明极限举例,四、收敛数列的性质,数列、,数列举例、,数列的几何意义,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义,极限的唯一性、,收敛数列的有界性,收敛数列与其子数列间的关系,一、数列的概念,如可用渐近的方法求圆的面积？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：,一个实际问题,数列：,如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n 有一个确定的 数xn ，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3， ，xn ， 这一列有次序的数就叫做数列，记为xn，其中第n 项xn 叫做数 列的一般项 数列举例：,数列的几何意义：,数列xn可以看作自变量
2、为正整数 n 的函数： xn=f (n)， 它的定义域是全体正整数,数列与函数：,x1=f(1),x2=f(2),x3=f(3),x4=f(4),x5=f(5),x6=f(6),.,xn=f(n),数列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3， ，xn ，,二、数列的极限,例如,如果数列没有极限，就说数列是发散的,xn=a,而2n， (-1)n+1，是发散的,数列的极限的通俗定义： 对于数列xn，如果当n 无限增大时，数列的一般项xn无限 地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列xn的极限，或 称数列xn收敛a 记为,对无限接近的刻划：,“当n无限增大时，xn无
3、限接近于a” 等价于：当n无限增大 时，|xn-a |无限接近于0；或者说，要|xn-a |有多小，只要n足够 大， |xn-a |就能有多小,极限的精确定义：,定义 如果数列xn与常a 有下列关系：对于任意给定的 正数e(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于n N 时的 一切xn，不等式 |xn-a |e 都成立，则称常数a 是数列xn的极限，或者称数列xn收敛 于a ，记为,或 xn a (n ) 如果数列没有极限，就说数列是发散的,数列极限的几何意义：,对于任意给定的正数e，总存在正整数N ，使得对于n N 时的一切xn，不等式 |xn-a |N 时， 所有的点xn都落在区间(a-
4、 e , a+e)内，而只有有限(至多只有 N个)在区间(a- e , a+e)以外.,对于任意给定的正数e0，,三、用定义证明极限举例,分析：,证明：因为对于任意给定的e0， 存在N=1/e， 使当nN时，有,所以,三、用定义证明极限举例,对于任意给定的e 0，要使,只需,故取,分析：,所以，,证明：因为对任意给定的正数e0， 存在,使当nN时， 有,例 3 设|q |1，证明等比数列 1，q ，q2， ，qn-1， 的极限是0,对于任意给定的正数e0，,分析：,要使,例 3 设|q |1，证明等比数列 1，q ，q2， ，qn-1， 的极限是0,使当nN时，有 |xn-0|=|qn-1-0
5、|=|q|n-1e ，,四、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 数列xn不能收敛于两个不同的极限,存在正整数N2 ，,这是不可能的这矛盾证明了本定理的断言,数列的有界性： 对于数列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足 不等式 |xn|M， 则称数列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列 xn是无界的,数列xn=2n(n=1，2， )是无界的,定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界,证明：设数列xn收敛，且收敛于a根据数列极限的定 义，对于，存在正整数N，使对于nN时的一切xn， 不等式 | xn- a |N时， | xn |=| ( xn- a
6、) + a | | xn- a |+| a |1+| a | 取M=max| x1 |， | x2 |， , | xN |， 1+| a |， 那么数列xn中的 一切 xn都满足不等式 | xn | M 这就证明了数列xn是有界的,定理2(收敛数列的有界性) 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a ,子数列： 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些 项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为 原数列xn的子数列,例如，数列 xn ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子数列为x2n：-1，-1，-1，(-1)2n+1， ,证明：设数列 是数列xn的任一子数列,定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a ,2如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,3数列的子数列如果发散， 原数列是否发散? 数列的两 个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何? 发散的 数列的子数列都发散吗？,4如何判断数列 1，-1，1，-1， ，(-1)n+1， 是发散的？,讨论：,
