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1、高考要求 要求层次重难点 B用二元一次不等式组表示平面区域不等式 简单的线性规划 B简单的线性规划问题 例题精讲 （一） 知识内容 1.二元一次不等式表示的区域 对于直线(A0)0AxByC 当B0 时, 表示直线上方区域; 表示直线0AxByC0AxByC0AxByC 的下方区域.0AxByc 当B0 时, 表示直线下方区域; 表示直线0AxByC0AxByC0AxByC 的上方区域.0AxByc 2.线性规划 (1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式， 所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，
2、我们 把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在 上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标 11 ,x y 22 ,xy 函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可 行 （
3、二）主要方法： 板块一：线性规划 线性规划 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （三）典例分析： 1.二元一次不等式（组）表示的平面区域 【例 1】画出下列不等式（或组）表示的平面区域 210 210 123 xy xy x 求不等式表示的平面区域的面积。2|1|1|yx 2.区域弧长、面积问题 【例 2】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则 0 34 34 x xy xy
4、4 3 ykx 的值是（ ）k A B C D 7 3 3 7 4 3 3 4 【例 3】若，且当时，恒有，则以，为坐标点所0a0b 0 0 1 x y xy 1axbyabP a b， 形成的平面区域的面积等于 【例 4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合ABC2ab 所表示的平面图形面积等于（ ）()|Px yxayb， ABCD22442 【例 5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、xyC 的定圆所围成的区域（含边界） ，、是该圆的四等分点若点、点DABCD()P x y， 满足且，则称优于如果中的点满足：不存在中的其()P xy，x x y
5、 y P P Q 它点优于，那么所有这样的点组成的集合是劣弧（ ）QQ y x O D C B A ABCDAB BC CD DA 【例 6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长D 20 30 xy xy 22 4xyD 为（ ） A B C D 4 2 3 4 3 2 3.线性规划 【例 7】设变量，满足约束条件：则目标函数的最小值为（ ）xy 3 1 23 xy xy xy 23zxy A6 B7 C8 D23 【变式】已知实数、满足，则的最大值是（ ）xy 02 1yx y 3xy A B C D7653 【例 8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于()
6、P x y， 4 1 xy yx x OPO _，最大值等于_ 【例 9】设变量，满足约束条件，则函数的最大值为（ ）xy 0 1 21 xy xy xy 5zxy ABCD2345 【例 10】若实数满足，则的最小值为 xy， 20 4 5 xy x y syx 4.与不等式综合 【例 11】设满足约束条件，若目标函数的最大值x y， 360 20 00 xy xy xy ， (00)zaxby ab， 为，则的最小值为（ ）12 23 ab A B C D 25 6 8 3 11 3 4 【例 12】已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等x y， 1 21 y yx xym zxy
7、1m 于（ ） A B C D7543 【例 13】若，满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，xy 1 1 22 xy xy xy 2zaxy10， 则的取值范围是（ ） a AB CD12 ，42 ，40 ，24 ， 5.与其他知识综合 【例 14】设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数 2190 80 2140 xy xy xy M 的图象过区域的的取值范围是（ ）(01) x yaaa，Ma AB C D1 3，210，2 9， 10 9， 【例 15】已知满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件 22 1xy()xy， 1 S 的点构成的平面区域的面积为， （其中、分别表
8、示不大于、 22 1xy()xy， 2 S x yx 的最大整数） ，则点一定在（ ）y 12 ()SS， A直线左上方的区域内 B直线上 yxyx C直线右下方的区域内 D直线左下方的区域内 yx7xy 【例 16】设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合D 123 PP P 0 P 123 PP P ，则集合表示的平面区域是（ ） 0 |123 i SP PDPPPPi，S A三角形区域 B四边形区域 C五边形区域 D六边形区域 【例 17】设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和 0 0 3 x y ynxn n D n D 纵坐标均为整数的点）个数为 * ( )
9、()f n nN 求的值及的表达式；(1)(2)ff，( )f n 记，试比较与的大小；若对于一切的正整数，总有成 ( )(1) 2 n n f nf n T n T 1n T n n Tm 立，求实数的取值范围m 【例 18】在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界） ，若目标函数取得zxay 最小值的最优解有无数个，则的最大值是（ ） y xa AB 2 3 2 5 CD 1 6 1 4 若关于的不等式的解集是，则对任意实数，总有（ ）x 24 (1)4kxkMk A，B，2M0M2M0M C，D，2M0M2M0M 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积
10、10 10 10 xy x axy a 等于，则的值为（ ）2a ABCD5123 【例 19】设集合， 1 ()|2| 2 Ax yyx ，()|Bx yyxb，AB 的取值范围是 ；b 若，且的最大值为，则的值是 ()x yAB，2xy9b (5,1) (4,2) (2,0) C B A y xO （一） 知识内容 （二）主要方法： 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际
11、情况求得最优解. （三）典例分析： 【例 20】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料 3 吨、原料 2 吨；AB 生产每吨乙产品要用原料 1 吨、原料 3 吨销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨AB 乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗原料不超过 13 吨，原料不超AB 过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是（ ） A12 万元 B20 万元 C25 万元 D27 万元 蔬菜价格随着季节的变化而有所变化根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千2 克甲种蔬菜与 千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种1845 蔬菜所需费用之和小于元设购
12、买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬222A3 菜所需费用为元，则（ ）B A BABAB C D大小不确定ABAB， 【例 21】在平面直角坐标系中，满足不等式组，点的集合用阴影表示为下xOy 1 xy x ()xy， 列图中的（ ） -1 D. C.B. A. -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 111 11 1 1 O OOO y x y x y x y x 【例 22】已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）xy， 10 310 10 yx yx yx 2zxy ABCD4214 板块二：线性规划应用 【例 23】已知平面上有三点，若在由围成的平面区域中，使(5 3)A，(1 1)B ，(1 5)C ，ABC 目标函数（）取得最大值的最优解有无穷多个，则的值是（ ）zaxy0a a A B C D 2 3 1 2 2 3 2 【例 24】设函数 2 21 ( ) 2 x f x x 求的单调区间和极值；( )f x 若对一切，求的最大值xR3( )3af xbab 【例 25】设函数有两个极值点、，且， 32 33f xxbxcx 1 x 2 x 1 10 x ， 2 12x ， 求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；bcbc， 证明： 2 1 10 2 f x c O b 3 3 2 2 1 1
