《12数列的极限 (2)教学教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12数列的极限 (2)教学教案（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、数列极限的定义 1.描述性定义 2.数学符号定义 3.几何意义,二、收敛数列的性质 1.唯一性 2.有界性 3.保号性 4.与子列关系,1.2 数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正 6 边形的面积,正 12 边形的面积,正 形的面积,二、数列的定义,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数 xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,下页,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1,
2、 1, , (-1)n+1, .,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,数列的几何意义,二、数列的定义,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项(通项).,下页,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中
3、第n项xn叫做数列的一般项(通项).,二、数列的定义,下页,播放,三、数列的极限,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,当n, xna . 当n, |xn-a|0 . 当n, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|, （为事先给定的任意小的正数）.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,
4、则数列xn收敛a.,下页,怎样用数学语言描述？,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,“ N ” 定义,数列极限的几何意义, 0, NN 当nN时 有|xna| .,下页,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),分
5、析:,p26例1,证明,下页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,p27例2,分析:,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,分析:,p27例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,当nN时, 有,因为 0,证明,下页,N= log|q|e +1N, 0, NN 当nN时 有|xna| .,图示:, N与 的关系:,例如, 0, NN 当nN时 有|xna| ., 的任意小性，N 的存在性， 且N=N( )不
6、是唯一的，一般 越小，N 越大.,下页,注：,四、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,使当nN时, 同时有,因此同时有,这是不可能的. 所以只能有a=b.,证明,下页,注: 如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列xn是有界的; 如果这样的正数M 不存在, 就说数列xn是无界的,四、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,例如,有界,无界,几何意义：,数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间M，M上.,下页,P28例4,证,由定义,区间长度为1.,不
7、可能同时位于长度为1的区间内.,下页,2 如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛? P29,1 数列1, 1, 1, 1, , (1)n-1, 的有界性与收敛如何？,讨论,下页,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,四、收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,定理2(收敛数列的有界性),如果数列xn收敛 那么数列xn一定有界,定理3(收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时
8、有xn0(或xn0),推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),四、收敛数列的性质,下页,注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.,定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,例如 数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 ,一般地，,下页,*,*,1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都
9、发散吗？,4 如何判断数列1 1 1 1 (1)n1 是发散的？,定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,讨论,下页,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念
10、的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,返回,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限
11、,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,返回,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性.,作 业,P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (n),讨论, 0, NN 当nN时 有|xna| .,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时，,反而缩小为,仅有 成立，,但不是 的充分条件,
