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1、第三节 幂级数,一、函数项级数的概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论，,幂级数收敛域的可能情形：,如：,除 x 0 外，其它点均发散 .,对于任意的 x R , 幂级数都收敛 .,如：,既有使幂级数收敛的非零点 , 又有使幂级数 发散的点 .,则 D 有界 , 故存在 R0.,Abel几何意义:,绝对收敛区域,发散区域,发散区域,当 | x | R 时, 幂级数绝对收敛. 当 | x | R 时, 幂级数发散. 当 | x | R 时, 幂级数可能收敛,
2、可能发散. 是收敛与发散的分界点.,推论,定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.,收敛半径R的特征：,例 设幂级数 当 时发散,当 时收敛,则该级数的收敛半径是_.,定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径.,称为幂级数的收敛区间.,幂级数的收敛域有四种可能.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕.,1,注: 该定理反之不成立 .即 : 幂级数的收敛半径为 R , 未必,例如,的收敛半径是 R 1 .,但,例1 求下列幂级数的收敛区域:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区域为 (0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原
3、级数的收敛域为,例3 若幂级数 的收敛域为 ( 4 , 4 ,写出 的收敛域 .,解,设 x2 t , 则,| t | 4 ,因此 | x | 2,收敛.,又 x 2 时 , 收敛 .,x 2 时 , 收敛 .,2 , 2 ,收敛;,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,(2) 乘法,(其中,柯西乘积,注: 两级数相加减或乘所得幂级数的半径 R min R1，R2 . 但当 R1 R2 时 , R min R1，R2 .,例:求 的收敛域 ,解,由根式判别法易得 的收敛半径都是 3 .,又原级数在 x 3 时发散 , 故其收敛半径 R 3 .,及和s.,收敛域(-3,3
4、),2.和函数的分析运算性质:,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),(收敛半径不变),(收敛半径不变),思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,解,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,求导,积分后的级数收敛区间不变,但收敛域会改变.,一般而言，积分后收敛域可能会变大，求导后收敛域可能会变小.若x=R,幂级数发散，积分后新幂级数可能收敛；若x=R,幂级数收敛，求导后新幂级数可能发散,解,两边积分得,首先，该级数的收敛域为 (1 , 1 ,例5 求 的和函数 .,解,令 x2 t , 即求 的和函数.,求导 , 得,所以，,解,收敛区间(1,1),四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R和收敛域,3.幂级数的运算:,代数运算和分析运算性质,1.函数项级数的概念:,
