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1、格林公式及应用,第三节,仅对平面上对坐标的曲线积分讨论,否则称D为复(多)连通区域,复连通区域,单连通区域,一、单连通区域与多连通区域,设D是一平面区域，,如果D内任一闭曲线所围成,的部分都属于D，,则称D为(平面)单连通区域，,设有空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成,类似地，,否则称G为复(多)连通区域,围成的区域全属于G，则称G是(空间)单连通区域，,二、格林公式,设平面闭区域 由分段光滑曲线 所围成，,则有,其中 是 的边界取正向，,公式(1) 称为格林公式,边界曲线L 的正向：,单连通区域,多连通区域,定理,当观察者沿区域D的边界L行走时，,L 所围区域D总在他的左侧,证明 (2),
2、故(1)式成立.,证明 (3),从而格林公式成立,函数 在 上具有一阶连续偏导数，,则有,其中 是 的边界取正向,格林公式:,格林公式的实质,设平面闭区域 由分段光滑曲线 所围成，,三、格林公式的简单应用,1. 简化曲线积分的计算,例1,解法1 利用格林公式,解法2 直接用曲线积分公式计算 (略).,例2,解,则由格林公式,解,滑且不经过原点的连续闭曲线，方向为逆时针方向,格林公式的条件不满足,2. 计算平面区域的面积,解,四、平面曲线积分与路径无关的条件,B,A,二元函数的全微分求积,函数,定理,在 上具有一阶连续偏导数，,则下面四个断语等价：,注意 G为单连通区域,则由格林公式,证,设 A、B 是区域G 内任意两点，,A,B,是G内任意两条从A到B 的曲线，,定理证毕,一个原函数,与一元函数类似，如果u(x,y)是Pdx+Qdy,的一个原函数，则其原函数的全体为 u(x,y)+C,由前面的讨论可知，此时,若取积分路径为折线段ACB，,若取积分路径为折线段ADB，,解,因此，积分在 xoy 面内与路径无关,若取积分路径：L1 + L2.,解,L为由点 到点 的曲线弧 ,取积分路径如图所示：,解,例7,例8,解法一,解法二,从而,故所求函数的全体为,例9,解 (1),例9,解 (2),解 (2),
