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1、推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第十一章,第一节,一、平面点集 n维空间,二、 n元函数,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的极限与连续,第十一章,一、平面点集 n维空间,1. 平面点集,称为点 P0 的邻域.,坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，,若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在平面上,称为平面点集，记作,(1) 邻域,(3) 聚点,若对任意给定的正数 ,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点 ,则称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E , 也可以不属于 E.,聚点可以为,E 的内
2、点 或E的边界点,注.,1 内点一定是聚点；,2 边界点可能是聚点, 也可能不是聚点；,但 的点属于 E , 的点不属于 E.,则点集,中的点都是E的内点；,点集,中的点都是E的聚点，,E,例如: 设点集,(4)开区域及闭区域, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若点集 E E, 则称 E 为闭集；, 若点集D中任意两点, 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,D的折线相连, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,例如，,是闭集、连通集、闭区域.,都可用一完全属于,则称 D 是连通的 ;,是开集、连通集、是区域；,例如，在
3、平面上,开区域,闭区域, 整个平面, 点集,是开集，,是最大的开域 ,也是最大的闭域；,但非区域 ., 对点集E , 若存在正数 K , 使对一切点 P E,P与原点 O的距离 OP K ,则称 E 为有界点集；,否则，称为无界点集 .,2. n 维空间,n 元有序数组,的全体所构成的,中的每一个元素,称为该点或该n维,集合,记作,即,一个点或一个n维向量,当所有坐标,称该点为,中的坐标原点,记作O .,或n维零向量,向量的第 k 个坐标 .,称为 中的,的距离记作,规定为,二、 n元函数, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,引例:,定义11.1,变量 z 按照一定的
4、,规律与之对应，则称 z 是 x, y 的二元函数，记做,其中，x, y 称为自变量，z 称为函数（或因变量）。,设有三个变量 x, y, z,如果对变量 x, y,在一定范围D内所取的每一对值，,自变量x, y 的取值范围D称为这个二元函数的定义域。,类似可以有三元函数,二元函数的定义域是平面点集.,又如, 二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,一般地,二元函数 z = f (x, y), (x, y) D,的图形为空间曲面 .,三元函数 的定义域是三维空间的点集.,的定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,如, 三元函数,解,的函数 f(x,y)，,称为n次齐次函数
5、 ),例1,(1)定义域,(2)定义域,解,例2,三、多元函数的极限,1. 定义11.2 设 二 元函数,则称 常数A 为,(也称为 二 重极限),某去心邻域内有意义,使得P满足,记作,时必有,若对任意给定正数 ,总存在正数 ,注,1 定义中 的方式是任意的；,2 二元函数的极限也叫二重极限,3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,2. 求二重极限的常用方法,(1) 利用定义,求证:,证,例1,当 时，,原结论成立,例3,用变量代换 化二重极限为一元函数的极限,解,x,y,o,o,求极限,解,其中,例4,(3) 夹逼准则，重要极限,与 k 有关，则可断言: 二重极限,3. 确定极限不存在的方
6、法：,例5,证明下列极限不存在：,(1),(2),证,(1),x,y,o,y = x,x,y,o,y=x,(2),分析.,x,y,o,证,其值随 k 的不同而变化，,例5-2,解,四、 多元函数的连续性,定义11.3,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,如果,则称,的间断点 .,则称函数,连续.,连续.,记作,定义11.4,定义在 D 上,如果,为函数,函数,不连续.,设二 元函数,则称此函数在 D 上,设函数,例如, 函数,在 (0 , 0)点极限不存在(例5(2),又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在其定义区域内连续.,性
7、质1 (有界性与最大最小值定理),且能取得它在 D 上的最大值 M 及最小值 m ;,闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:,在有界闭区域 D 上连续的多元函数必定在D上有界,性质2 (介值定理),在有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于它在,D 上的最大值 和最小值之间的一切值.,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭区域上的多元连续函数的性质:,有界性定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在其定义区域内连续,备用题,1. 设,求,解法1 令,设,求,解法2 令,即,例2-1,解,例2-2,解,而,则,故,此函数定义域 不包括 x , y 轴,化为一元函数极限,例3-1,解,例3-2,证,解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,例5-1 讨论函数,例5-3,是否存在？,解,所以极限不存在.,
