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1、第七节 二次曲面,由曲面方程研究曲面几何形状,三元二次方程,(二次项系数不全为 0 ),所表示的曲面称为二次曲面,(平面被称为一次曲面),适当选取直角坐标系可得它们的标准方程.,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面.,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(截痕)形状,然后加以综合从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种常见特殊的标准型二次曲面,一、 椭球面,(1) 范围：,(2)与三个坐标面的截痕：椭圆,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由zox面上的椭圆 绕 z 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,旋转椭球面与平面z = z1
2、 (|z1|c)的截痕为圆.,球面,方程可写为,二、 抛物面,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,与z= 0截得一点，即坐标原点 O(0,0,0).,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,与 z = c (c0) 截痕为椭圆:,与 x = h (h0) 及与 y = k (k0) 截痕为抛物线.,特殊地：当 a=b 时，方程变为,旋转抛物面,由抛物线 绕z轴旋转而成.,与平面 z = c (c0) 的截痕为圆:,当 c 变动时，圆的中心在 z 轴上.,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,三、双曲面,1、单叶双曲面,(1) 与平面z = z1 的截痕为椭圆.,(2) 与平面y = y1 (|y1|b) 的截痕为
3、双曲线.,与平面 y = y1 (|y1|=b) 的截痕为相交直线.,(3) 与平面 x = x1 (|x1|a) 的截痕为双曲线.,与平面 x= x1 (|x1|=a) 的截痕为相交直线.,2、双叶双曲面,(1) 与平面 z = z1 (|z1|c)的截痕为椭圆.,(2) 与平面y = y1 的截痕为双曲线.,(3) 与平面x = x1 的截痕为双曲线.,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,单叶双曲面,双叶双曲面,四、 椭圆锥面,(1) 与平面 z = z1 的截痕为一点或椭圆.,(2) 与平面y = y1 的截痕为两条相交直线或双曲线.,(3) 与平面x = x1 的截痕为两条相交直线或双曲线.,截痕法,五、小结,二次曲面,椭球面、抛物面、双曲面、椭圆椎面.,
