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1、问题,1、设z=f(u,v)，而u(t) v(t) ,如何求,一、复合函数的求导法则,10.3 多元复合函数微分法,2、设z=f(u,v)，而u(x,y) v(x,y) , 如何求,1、复合函数的中间变量均为一元函数的情况,2、复合函数的中间变量均为多元函数的情况,定理2 如果函数 及 在点(x,y)具 有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v) 具有连续偏导数，则复合函数 在点(x,y)的两个偏导数存在，具有,链式法则如图示,例2,解：,【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以 一般习惯有以下记号：,其中1，2是根据题设z=f(x,y)中u,v在函数中排在第几个来决定
2、的。,讨论,（2）,即,令,其中,两者的区别,区别类似,3、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元 函数的情况,定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的 偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点 (u v)具有连续偏导数 则复合函数zf(x y) (y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有,解,解,解,解,令,记,同理有,于是,注意：,解,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,对函数,不论 u 是自变量,还是中间变量 , 在可微的条件下, 均有,二、复合函数的全微分,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,全微分形式不变性,解,例8 用全微分形式不变性解下题,解:,du、dv代入dz得,
