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1、3.4复合函数的导数,一、复习与引入：,1. 函数的导数的定义与几何意义.,2.常见函数的导数公式.,3.导数的四则运算法则.,4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢?,又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?,为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.,二、新课复合函数的导数,1.复合函数的概念:,对于函数y=f (x),令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f
2、 (x) 是自变量x的复合函数.,2.复合函数的导数:,设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 ,则复合函数 在点x处也有导数,且 或记,如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 从而 .结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.,三、例题选讲：,例1:求下列函数的导数:,解:设y=u5,u=2x+1,则:,解:设y=u-4,u=1-3x,则:,解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:,说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.,例2:求下列函数的导数:,解:,(2),解:,(3)y=tan3x;,解
3、:,(4),解:,例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.,解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.,又圆面积S=R2,所以 =40(cm)2/s.,故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.,例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程.,解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:,切线斜率,把x0=0代入曲线方程得:y0=1.,所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.,例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)
4、,解:,说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.,我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明:,证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x 求导得: ,故 为 奇函数.,同理可证另一个命题.,我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.,证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义 域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).,两边同时对x求导得: 即 也是以T为周期的周期函数
5、.,例6:求函数 的导数.,说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达 式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用 定义来讨论分段点的可导性.,解:当x1时, .,又 ,故f(x)在x=1处连续.,而,从而f(x)在x=1处不可导.,四、小结：,利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变 量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.,
