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1、1数学思想专项训练 (一)函数与方程思想方法概述 适用题型函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方 s 程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几种类型：(1)函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前 n 项和是自
2、变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.一、选择题1已知函数 f(x)ln x xa 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为( )A(，1 B(，1)C1，) D( 1，)解析：选 B函数 f(x)ln xxa 的零点即关于 x 的方程 ln xxa0 的实根，将方程化为 ln xxa，令 y1ln x，y2x a，由导数知识可知当两曲线
3、相切时有 a1.若函数f(x) ln xxa 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为( ，1) 2已知关于 x 的不等式( ax1)(x1)0 的解集是( ，1) ，则 a 等于( 12， )()A2 B2C D.12 12解析：选 B根据不等式与对应方程的关系知1， 是一元二次方程 ax2( a1)12x10 的两个根，所以 1 ，所以 a2，故选 B.( 12) 1a23(2015天津六校联考)若等差数列 an满足 a a 10，则 Sa 100a 101a 19921 2100的最大值为()A600 B500C400 D200解析：选 BSa 100a 101a 199100a 10
4、0 d100( a199d)100992 d，即 99d a1，因 为 a a 10，即 a ( a199d) 210，整理得 a 100992 S150 23 21 2100 21 21210 ，即 a a1 2100 有解，所以(13a1 S150) 109 21 S225 ( S150) 24 0，解得500S500，所以 Smax500，故 选 B.(S225) 109( S150)2 104已知 f(x)log 2x，x2,16，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，则使x2mx42m4x 恒成立的实数 x 的取值范围为()A(，2 B2，)C(，22，) D( ，2)(2，)解析
5、：选 Dx2,16，f(x)log 2x1,4，即 m1,4不等式 x2mx 42m4x 恒成立，即为 m(x 2)(x 2) 20 恒成立，设 g(m)(x2)m( x2) 2，则此函数在1,4 上恒大于0，所以Error! 即 Error!解得 x2 或 x2.5(2015黄冈质检)已知点 A 是椭圆 1 上的一个动点，点 P 在线段 OA 的延长x225 y29线上，且 48，则点 P 的横坐标的最大值为( )OAA18 B15C10 D.152解析：选 C当点 P 的横坐标最大时，射线 OA 的斜率 k0， 设 OA：ykx，k0，与椭圆 1 联立解得 xA .又 x AxPk 2xA
6、xP48，解得 xP x225 y29 159 25k2 O481 k2xA ，令 925k 2t9，即 k2 ，则 xP 25169 25k251 k2 165 9 25k21 k22 t 925 165 t(t 1625 )2 165 80 80 10，当且 仅当 t16，即 k2 时取等号，所以点tt2 162 32t 1t 162t 32 164 725P 的横坐 标的最大值为 10，故 选 C.36(2015杭州二模)设 Sn 为等差数列 an的前 n 项和，(n 1)SnnS n1 (nN *)若1，则()a8a7AS n 的最大值是 S8 BS n 的最小值是 S8CS n 的最
7、大值是 S7 DS n 的最小值是 S7解析：选 D由(n1)S nnS n1 得(n1) n ，整理得na1 an2 n 1a1 an 12ana n1 ，所以等差数列a n是 递增数列，又 1，所以 a80，a 70，所以数列 an的前 7a8a7项为负值，即 Sn 的最小值是 S7.故选 D.二、填空题7已知 f(x)为定义在 R 上的增函数，且对任意的 xR，都有 ff(x)2 x3，则 f(3)_.解析：设 f(x)2 xt，则 f(t)3，f (x)2 xt，所以 2tt3，易得方程 2tt3 有唯一解 t1，所以 f(x)2 x1，所以 f(3)9.答案：98已知奇函数 f(x)
8、的定义域为 R，当 x0 时，f(x)2x x2.若 xa，b时，函数 f(x)的值域为 ，则 ab_.1b，1a解析：由题意知 ab，且 ，则 a，b 同号，当 x0 时，f(x)2xx 2(x1)1a 1b211，若 0ab，则 1，即 a1.因为 f(x)在1， )上单调递减，所以Error!解得1aError!所以 ab .1 52由 f(x)是奇函数知，当 x0 时 ，f(x)x 22x ，同理可知，当 ab0 时，Error!解得Error!所以 ab .综上，ab .1 52 1 52答案：1 529为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参
9、加该小组的人数作为样本数据已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_解析：设 5 个班级的样本数据从小到大依次为 0abcde.由平均数及方差的公4式得 7， 4.设a b c d e5 a 72 b 72 c 72 d 72 e 725a7，b7，c7，d7，e 7 分别为 p，q，r，s，t，则 p，q，r，s，t 均为整数，且Error!设 f(x)(xp )2(x q)2(xr )2(xs) 24x 22( pqrs)x (p 2q 2r 2s 2)4x 22tx20t 2，由(xp) 2，(xq) 2，(xr) 2，(xs) 2 不能完全相同知
10、 f(x)0，则判别式0，即 4t244(20t 2)0，解得 4t4，所以3t3，故 e 的最大值为 10.答案：1010(2015东城期末)若函数 f(x)m 的定义域为a ，b ，值域为a，b，则实数x 3m 的取值范围是_解析：易知 f(x)m 在 a，b上单调递减，因 为函数 f(x)的值域为a，b，所以x 3Error!即 Error!两式相减得， ab( a3)( b3) ( )2( )2，所a 3 b 3 a 3 b 3以 1，因为 a b，所以 0 ，而 m aa 1，所以a 3 b 3 a 312 b 3 a 3m( a 3) 2 2 ，又 0 ，所以 m2.a 3 (a
11、3 12) 94 a 3 12 94答案： ( 94， 2二、解答题11.如图，在平行四边形 ABCD 中，BC2，BD CD，四边形ADEF 为正方形，平面 ADEF平面 ABCD.记 CDx，V (x)表示四棱锥 FABCD 的体积(1)求 V(x)的表达式；(2)求 V(x)的最大值解：(1)平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD 且 FAAD，FA平面 ABCD.BDCD，BC 2，CDx .FA2，BD (0x2)，4 x2SABCDCDBDx ，4 x2V(x) SABCDFA x (0x2)13 23 4 x2(2)V(x) x 23 4 x2 23 x4 4x2 .23 x
12、2 22 40 x2，0 x24，5当 x22，即 x 时，V (x)取得最大值，且 V(x)max .24312设 P 是椭圆 y 21(a1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求 |PQ|的最x2a2大值解：依题意可设 P(0,1)，Q(x，y)，则|PQ| .x2 y 12又因为 Q 在椭圆上，所以 x2a 2(1y 2)|PQ|2a 2(1y 2)y 22y1(1a 2)y22y1a 2(1a 2) 2 1a 2，(y 11 a2) 11 a2因为|y| 1， a1，若 a ，则 1，2 |11 a2|当 y 时，|PQ|取最大值 ；11 a2 a2a2 1a2 1若 11 的解
13、集为空集，a 不存在综上所述，实数 a 的取值范围 是 .34，1答案： 34，1三、解答题11在公差 d0 的等差数列a n中，已知 a110，且 a1,2a22,5a 3 成等比数列，求|a1| a2| a3|a n|的值解：由已知可得(2a 22) 25a 1a3，即 4(a1d1) 25a 1(a12d) (11d) 225(5d)12122dd 212525dd 23d40d4(舍去) 或 d1，所以 an11n，当1n11 时，a n0，| a1| a2| a3|a n|a 1a 2a 3a n n10 11 n2；当 n 12 时，n21 n2an0，| a1|a 2|a 3| |an|a 1a 2a 3a 11(a 12a 13a n)2(a 1 a2a 3a 11)( a1a 2a 3a n)2 .1121 112 n21 n2 n2 21n 220213综上所述，|a 1|a 2| a3| | an|Error!12(2015唐山统一考试)已知函数 f(x) .exxex 1(1)证明：0f(x)1；(2)当 x0 时，f(x ) ，求 a 的取值范围1ax2 1解：(1)证明：设 g(x)x ex1， 则 g( x)(x1)e x.当 x( ， 1)时，g(x) 0，g(
