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1、二、直线,第三节 平面与直线,一、平面,三、小结,曲面方程的概念：,取定空间直角坐标系Oxyz后，若曲面S上的点M(x,y,z)的坐标与方程F(x,y,z)=0之间存在关系,（1）若M(x,y,z)在曲面S上，则F(x,y,z)=0；,(2)若F(x,y,z)=0，则点M(x,y,z)在曲面S上。,则称F(x,y,z)=0为曲面S的方程，曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形。,(1)法线向量如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,一、平面,平面的点法式方程,一) 、平面的点法式方程,法向量,二）、平面的一般方程,平面一般方程
2、的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,三） 平面的截距式方程,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,四）两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例5 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,五） 点到平面的距离,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征
3、）,4、小结,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,二、 直线1、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,2、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1 用对称式方程及参数方程表示直线,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,3、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,4、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,
4、/,(特殊点的求法),5、点、线、面的关系,(1) 求直线与平面的交点,求直线与平面的交点的方法：,把直线 L 改写为参数方程，再代入与平面方程求出参数 t ，即得交点的坐标.,(2) 求一点在平面上的投影点,求一点在平面上的投影点的方法：,(3) 求一点关于平面的对称点,求一点在平面上的投影点的方法：,或先求投影点再用求定比分点的方法。,(4) 求一点在直线上的投影点,求一点在直线上的投影点的方法：,6 、过直线的平面束方程,过直线L:,的平面有无穷多个,这无穷多个平面可用下面的 方程表示:,即:,通过直线L的平面束方程.,例13,7 、直线与直线的关系,直线与直线,两直线共面的条件,若两直
5、线共面，再判断是否平行.,若两直线平行，再判断是否重合.,若两直线不平行即相交，则要会求交点.,空间直线的一般方程.,空间直线的对称式方程与参数方程.,两直线的夹角.,直线与平面的夹角.,（注意两直线的位置关系）,（注意直线与平面的位置关系）,小结,点关于平面、直线的投影点、对称点，直线在平面上的投影直线,过直线的平面束方程,直线与直线的位置关系。相交时交点，异面直线的 距离。,思考题,练 习 题,练习题答案,上节内容回顾： 1、平面方程：点法式、一般式（特殊位置）、截距式 2、直线方程：一般式、对称式（标准式、点向式）、参数式 3、平面与平面的位置关系：平行、垂直的充要条件，平面与平面的夹角 4、直线与直线的位置关系：共面时平行、垂直的充要条件，直线与直线的夹角，重合 5、直线与平面的位置关系：平行（及在平面上）、垂直的充要条件，相交时交角 6、点到平面的距离,
