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1、4-3 函数的单调性、极值与最值,一、函数的单调性,1、定理1： 设 f(x) 在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则有,（1）若在（a，b）内，f (x) 0，则 f(x) 在a，b上单调递增；,（2）若在（a，b）内，f (x) 0，则 f(x) 在a，b上单调递减.,证明：,注1：Th1是一个充要条件；,注2：Th1中的“”和“”号也可改为“ ”和“ ”号， 结论同样成立.,2、分段单调函数：,Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子 区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.,3、驻点：,Def 2：,例1：讨论 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调性.
2、,解：,例2：讨论 的单调性.,解：,综上述：,练习,利用定理1判断下列函数的单调性,（2）证明不等式，通常是两项不等式,例3：证明,证：,（3）证明方程只有一个根,例4：证明方程 sin x = x 只有一个根.,证：,二、函数的极值,1、定义：,设函数 f(x)在x0的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点 x ，只要 x x0 ，就一定满足 f(x) f(x0)（或 f(x) f(x0)）, 则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（或极值），而点x0称为函数f(x)的极大值（或极小值）点。,注： 函数的极值是函数的一个局部最大 值或局部最小值，它通常并不等于函数的整体最大值或最小
3、值。,2、极值的必要条件,定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0.,推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 .,注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.,注2：f (x)的驻点不一定是其极值点，而f (x)的极值 点也不一定是其驻点.,注3：f (x)的不可导点不一定是其极值点，如点C.,例如：点B是驻点，但不是极值点；点A
4、是极值点A，但不是驻点.,3、极值的充分条件,定理3（第一充分条件） 设函数 f(x)在点 x0的去心邻 域内可导，在点 x0处连续，则有如下结果：,（1）当 x x0 时，有 f (x) 0 ；当 x x0 时，有 f (x) 0；则函数在点 x0处取得极大值。,（2）当 x x0 时，有 f (x) 0 ；当 x x0 时，有 f (x) 0；则函数在点 x0处取得极小值。,（3）如果在 x0 的两侧，导数 f (x) 不变号，则函 数在点 x0处不能取得极值。,证明（1） 在 x0 某领域内任取一点x，在以 x 和x0 为端点的闭区间上，对函数 f(x) 应用拉格朗日中值定理，得,f(x
5、)f(x0)=f ()(xx0)， (在 x 和 x0 之间),当 x0，,所以 f(x)f(x0)=f ()(xx0)0，,即 f(x)f(x0)；,当 xx0 时 x0x，由已知条件知 f ()0，,所以 f(x)f(x0)=f ()(xx0)0，,即 f(x)f(x0)；,合之，对x0附近的任意x，都成立 f(x)f(x0),由极值定义，x0 是 f(x)的极大值点,类似地可证明(2)，(3),定理4（第二充分条件） 设函数 f(x)在点 x0 有二阶导数，且 f (x0) = 0， f (x0) 0，则点 x0必定是函数 f(x)的极值点，且,（1）若 f (x0) 0 ，则函数 f(
6、x)在点 x0 处取得极大值；,（2）若f (x0) 0 ，则函数 f(x)在点 x0 有极小值。,（3）如果f (x0)=0，无法判断,注：比较两个判定方法，显然定理3适用于驻点和 不可导点，而定理4只能对驻点判定,4、求函数f (x)的极值的步骤：,（1）确定函数f(x)的考察范围，即定义域；,（2）求出函数f(x)的导数 f (x)；,（3）求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的点；,（4）列表，利用定理3或定理4，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值,例5：求函数f (x)=(x+2)2(x1)3的极值,解： （1）
7、(- ，+ )；,（2） f (x)=2(x+2)(x1)3+3(x+2)2(x1)2,=(x+2)(x1)2(5x+4)；,（3）令f (x)=0，即(x+2)(x1)2(5x+4) =0,f (x)没有不可导点；,（4）利用定理3，判定驻点是否为函数的极值点这步常用类似于确定函数增减区间那样的列表方法，只是加了从导数符号判定驻点是否为极值点的内容，其结果如下：,例6：,解： （1）(- ，+ )；,（3） 令f (x)=0，得驻点,不可导点为x3=1，x4= 0，x5= 1；,（4） 利用定理3，判定驻点或不可导点是否为函数的极值点列表如下：,所以，f(x)的极大值为,f(x)的极小值为,
8、练习,求下列函数的极值.,三、函数的最大值与最小值,1、问题的提出：,在许多实际问题中，常常会遇到在一定条件下， 如何使“用料最省”、“效率最高”、 “成本最低”、“路 程最短”等问题这些问题经过抽象提炼后，用数学 的方法进行描述，就都可归结为求一个函数的最大值 或最小值问题,2、概念：,Def 3：函数 y=f(x)，xI（I可以为有界、无界，可以为 闭区间、非闭区间），x1，x2I,（）若对任意 xI，成立 f(x)f(x1)，则称 f(x1) 为 f(x)在I上的最小值，称 x1为f(x)在I上的最小值点；,（）若对任意 xI，成立 f(x)f(x2)，称 f(x2)为 f(x)在I上的
9、最大值，称 x2为f(x) 在I上的最大值点,统称函数的最大、最小值为最值，最大值点、最小值 点为最值点,注1：最值是一个整体概念，在某一范围内，最值 若存在，只能是唯一的；,注2：最值可以是 I 内部的点，也可以是端点；,注3：如果最值点不是I 的边界点，那么它必定是极 值点；,注4：当函数存在唯一的极值点（I内部的点）时， 函数的极大（小）值就是函数的最大（小） 值.,3、函数最值的求解：设函数 f(x) 在 I=a，b上连续，（若x0是最值）,函数最值求解的步骤：,（1）求出函数 f (x)的导数 f (x)；,（2）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出 f
10、(x)=0的根和 f (x)不存在的点；,（3）计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；,（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大 值，最小者的即为函数的最小值,例 7：求函数 f (x) = x3-3x2-9x+5在区间-1，4上的最大值和最小值,解：,（3）计算函数 f(x)在驻点、区间端点处的函数值：,（4）函数f(x)在1，4上的最大值为10，最大值点为 x =-1；最小值为-22，最小值点为x =3,若定义区间改为-2，2，求其最值.,解：,（3）计算函数 f(x)在驻点、区间端点处的函数值：,（4）函数f(x)在-2，2上的最大值为10，最大值点为 x
11、=-1；最小值为-17，最小值点为x =2,4、函数最值的应用问题：,数学和实际问题中遇到的函数，未必尽是闭区间上的 连续函数一般可按下述原则处理：若实际问题归结出的 函数f (x)在其考察范围I上是可导的，且已事先可断定最大 值（或最小值）必定在I 的内部达到，而在I 的内部又仅 有f (x)的唯一一个驻点x0，那么就可断定f (x)的最大值(或 最小值)就在点x0取得,例 8：要做一个容积为V 的圆柱形煤气柜，问怎样设计才能使所用材料最省？,解：设煤气柜的底半径为r，高为h，,则煤气柜的侧面积为 2rh ，底面积为r2，表面积为s=2r2+2rh,因此它一定 是使s 达到最小值的点，此时对应的高为h= = =2r,当煤气柜的高和底直径相等时，所用材料最省,例 9： 一房地产公司有50套公寓房要出租，当租金定为180元/套月时，公寓可全部租出；当租金提高10元/套月，租不出的公寓就增加一套；已租出的公寓整修维护费用为20元/套月问租金定价多少时可获得最大月收入？,解：设租金为P(元/套月)，据设P180此时未租出公 寓为 (P-180)(套)，租出公寓为,从而月收入,令R(P)=0，得唯一解P=350,由本题实际意义，适当的租金价位必定能使月收入达 到最大，而函数R（P）仅有唯一驻点，因此这个驻点必定 是最大值点所以租金定为350元/套月时，可获得最大月 收入,
