《3 函数的极限资料教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3 函数的极限资料教程（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 函数的极限,一 函数极限的概念,（一）自变量 x 趋于无穷大时的函数极限,定义1 设 f (x) 在 | x | 充分大时有定义. 如果,对于 X 0 ,当 | x | X 时,恒有,(X=X(),X不唯一.),几何意义: 对于 , 总存在 X 0 ,当 | x | X 时, y=f (x) 的图象都落在直线 之间.,例 : 证明,只要 .,取 0,则当 时 ,有,所以,例 : 证明,证明:,则称常数 为 当 时的极限，记为：,或,二 自变量趋于有限值时的极限,定义2 设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有,注意:(1) 有没有极限，与 在点 处是否有定义没有关系。,
2、(2) 是任意的， 是相应的.,几何解释:,0,例1:用定义 证明:,用倒推法导出希望的条件, 是从 出发导出 ,满足: ; 套极限的定义复述,即： 。,用函数极限定义证极限：,当 时,有,取 0,则当 时 ,有,只要 .,所以,(4)证：因为,所以,则当 时 ,有,故取,故对 要使得 ， 只要 即 ，,还必须x0,(5)证：因为,故对 取,在 x 4时，可以限制 即,则,要使 ,只要 ,即,则当 时有,所以,(6)取,定义3（单侧极限）设 在 内有定义.若对 当 时，恒有,则称A为 f（x）当 时的右极限.记作,=,左,=,左右极限存在但不相等,例2,证,注: 对于,证明:,(极限题区分两种
3、情况:(1)证明极限,找X;(2)极限是条件, X.),结论： 的充分必要条件是,二 函数极限的性质,定理1 (唯一性) 若 存在,则必唯一.,定理2 (局部有界性) 若 存在 , 则 在 附近有界 . 即,定理3 ( 局部保号性) 若 则 对于 , 都有 .,注：这是加强的保号性，保号性定理有6个。,推论1 若 则 对于 , 都有 .,推论2 若在 内函数 , 且 则 .,注：有2个。,三 函数极限与数列极限的关系,定理4 (Heine定理) 的充要条件是 任何一个趋于 而不等于 的数列 ,必有,证,（必要性）,例:,证,二者不相等,补充作业: 1.填表,（该列全部写出来7个）,2、用定义证明:,思考:设 ，且 证明：,
