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1、13.3函数的最大(小)值与导数,理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.,自我校对：最大值最小值极值点处端点处在a，b内的极值各极值端点处的函数值f(a)，f(b),1.下列说法正确的是() A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值 C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值 D若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极
2、值,解析：最值与极值概念故选D. 答案：D,2函数y|x1|，下列结论正确的是() Ay有极小值0，且0也是最小值 By有最小值0，但0不是极小值 Cy有极小值0，但0不是最小值 D因为y在x1处不可导，所以0既非最小值也非极值 解析：最小值与极小值定义的应用故选A. 答案：A,答案：B,答案：2，2,5求函数f(x)x33x26x2在区间1,1上的最值 解析：f(x)3x26x63(x22x2)， 因为f(x)在1,1内恒大于0，所以f(x)在1,1上是增函数， 故当x1时，f(x)取得最小值12；当x1时，f(x)取得最大值2. 即f(x)的最大值为2，最小值为12.,1.函数f(x)的图
3、象在区间a，b上连续不断是f(x)在a，b上存在最大值和最小值的充分而非必要条件 2当f(x)的图象连续不断且在a，b上单调时，其最大值、最小值在端点处取得 3当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个可疑点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间,4函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处，则必为极值 5函数f(x)在区间(a，b)上的最值 在区间(a，b)上函数f(x)的图
4、象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值常见的有以下几种情况： 如图，图(1)中的函数yf(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；,图(2)中的函数yf(x)在(a，b)上有最小值而无最大值； 图(3)中的函数yf(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数yf(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值,分析求函数在闭区间a，b上的最值应先求极值，再求区间端点值，然后比较极值与端点值，从而找出最大值和最小值,当x0时，f(x)有最小值f(0)0； 当x2，f(x)有最大值f(2). 当x0，a时，f(x)0恒成立， 即f(x)在0，a上是减函数 故当xa时，f(x
5、)有最小值f(a)eaea；,当x0时，f(x)有最大值f(0)e0e00.,点拨(1)用导数求函数的最值和求函数的极值方法类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，并且要注意极值点是否在区间内 (2)当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解,练 1求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 (1)f(x)2x33x212x5，x2,3； (2)f(x)x33x26x2，x1,1；,解(1)f(x)6x26x12， 令f(x)0，则6x26x120，即x2x20， 解得x11，x22. f(1)12，f(2)15，f(2)1，f(3)4， 函数f
6、(x)2x33x212x5在x2,3上的最大值为12，最小值为15. (2)f(x)3x26x63(x22x2)， f(x)在1,1内恒大于0， f(x)在1,1上单调递增,f(x)x33x26x2在1,1上的最大值为f(1)2，最小值为f(1)12. (3)f(x)2cos2x1，,例2已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由 分析函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即
7、可,解显然a0. f(x)3ax212ax3ax(x4) 令f(x)0，解得x10，x24(舍去) (1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3. 又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2) 所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2. (2)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最小值，所以b29. 又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1) 所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2. 综上所述a2，b3或a2，b29. 点
8、拨本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想,练 2已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值3，那么此函数在2,2上的最小值为() A37B29 C5 D11 解析由f(x)6x212x6x(x2)0，解得x0或x2，f(0)m，f(2)m8，f(2)m40，所以f(x)maxm3，f(x)minm4034037. 答案A,分析在函数、不等式的交汇点处命题，将不等式恒成立问题，转化为利用导数求函数最值的问题,即证明x0时，(x1)ln(x1)12x0恒成立 令g(x)(x1)ln(x1)12x， 则g(x)ln(x1)1. 当
9、xe1时g(x)0；当00.,当x0时，(x1)ln(x1)12x0恒成立 因此正整数k的最大值为3.,点拨解决含参不等式在给定区间上恒成立问题的一般方法是分离参数法若f(x)m恒成立f(x)minm，若f(x)m恒成立f(x)maxm.,(1)求a、b的值及函数f(x)的单调递增区间； (2)若对x1,2，不等式f(x)k2恒成立，求k的取值范围,(2)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故要使f(x)f(2)，即k22k，解得k2. k的取值范围是(，1)(2，).,例4动点P(x，y)是抛物线yx22x1上的点，O为原点，设S|OP|2，求S的最小值 分析以函数、不等式、解
10、析几何、立体几何等知识为载体，求某些具体问题的最值,解析S|OP|2x2y2x2(x22x1)2 x44x33x24x1， S4x312x26x42(x2)(2x22x1),点拨解析几何中求最值问题，是高考常考问题，利用导数法求最值，为突破解析几何的难点，提供了便捷的工具，体现了导数法研究函数的优越性,练 4(2009重庆)已知f(x)x2bxc为偶函数，曲线yf(x)过点(2,5)，g(x)(xa)f(x) (1)若曲线yg(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； (2)若当x1时，函数yg(x)取得极值，确定yg(x)的单调区间,解(1)因f(x)x2bxc为偶函数，故f(x)f(x)
11、 即(x)2b(x)cx2bxc，从而bb，解b0. 又函数yf(x)过点(2,5)，得4c5，c1， g(x)(xa)(x21)x3ax2xa， 从而g(x)3x22ax1. 因曲线yg(x)有斜率为0的切线，故g(x)0有实数解，,(2)因函数g(x)在x1处取得极值，故g(1)0. 即32a10，解得a2. 又g(x)3x24x1(3x1)(x1)，,(1)讨论f(x)的单调性； (2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围,分析本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的取值范围,解(1)f(x)x22(1a)x4a (x2)(x2a) 当a1知，当x0， 故f(x)在区间(，2)是增函数 当22a时，f(x)0， 故f(x)在区间(2a，)是增函数 综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数,(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值,
